Loading AI tools
matematisk analys Från Wikipedia, den fria encyklopedin
Riemannintegral, skapad av Bernhard Riemann, var inom matematisk analys den första rigorösa definitionen av integraler. Det finns flera andra definitioner, bland annat Lebesgueintegralen, som har teoretiska fördelar, men är mer komplicerade.
Riemanns idé var att definiera integralen för begränsade funktioner f : [a,b] → ℝ med en "kolonnapproximation". Först delas [a,b] upp i mindre intervall och sedan väljs en punkt från varje intervall. Då fås en kolonn med intervallets bredd b – a och funktionen f:s värde i den utvalda punkten som höjd. En riemannsumma är summan av kolonnernas area. Riemannsummorna approximerar arean under en funktionskurva och riemannintegralen definieras som ett gränsvärde av riemannsummor.
Mer precist, partionera [a,b] så att ett antal mindre intervall bildas enligt
och välj en punkt ξi ∈ Δi. Då definierar paret
en kolonn vars area är
där ℓ är längden av intervallet:
En n-riemannsumma för f, n ∈ ℕ definieras som talet
det vill säga som summan av alla kolonners areor. Riemannintegralen för funktionen f är talet
det vill säga, bästa approximationen för arean under f:s funktionskurva.
Riemann definierade endast riemannintegralen i ℝ men metoden kan generaliseras till ℝn med samma kolonnapproximation. Låt
vara ett n-rätblock i ℝn och f : B → ℝ vara en begränsad funktion. Först partioneras B i n-rätblock
och sedan väljs ξi = (ξi,1, …, ξi,n) ∈ Bi. Då definierar paret
en n-dimensionell kolonn vars mått är
där V är n-dimensionella volymen för rätblocket:
En n-riemannsumma för f, n ∈ ℕ definieras som talet
det vill säga, som summan av alla kolonners storlek. Riemannintegralen för en funktion f är talet
det vill säga, bästa approximationen för (n + 1)-dimensionella måttet under f:s funktionskurva.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.