Loading AI tools
funktion är inom matematisk analys Från Wikipedia, den fria encyklopedin
En funktion är inom matematisk analys en rationell funktion om, och endast om, den kan skrivas på formen
där m och n är naturliga tal och koefficienterna kan vara reella eller komplexa tal. Koefficienterna kan tillhöra en godtycklig kropp K och i detta fall talar man om rationella funktioner och rationella bråk över K. Värdena kan tillhöra alla kroppar L innehållande K.
Varje rationell funktion P(z)/Q(z) kan skrivas som ett icke-reducerbart bråk R(z) = P(z)/Q(z), där P(z) och Q(z) saknar gemensamma nollställen (är relativt prima).
Om P har graden m och Q har graden n, sägs graden av R(z) vara endera paret (m, n) eller talet m.
En rationell funktions största definitionsmängd är mängden av alla värden för vilka Qn är nollskild. En funktion som inte är rationell, det vill säga inte kan uttryckas som en kvot av två polynom, kallas irrationell funktion, en benämning som dock sällan används för funktioner.
Om Pm har ett högre gradtal än Qn kan den rationella funktionen skrivas på formen
där r har ett lägre gradtal än Q, vilket kan åstadkommas genom polynomdivision.
Det är möjligt att dela upp en rationell funktion i partialbråk. Om z är reellt eller komplext och P(z):s grad m är mindre än Q(z):s grad n och koefficienten för den högsta termen i Q(z) är 1, låt vara ett nollställe till Q(z) av multiplicitet och där så att
Den rationella funktionen P(z)/Q(z) kan då unikt representeras på formen
där är termer som återstår att bestämma.
Den rationella funktion, som i sina huvuddrag avbildas i figur 2,
är odefinierad för värdena och den är asymptotisk till när x går mot oändligheten.
Den rationella funktionen är definierad för alla reella tal, men inte för alla komplexa tal, därför att om x är den imaginära enheten, leder en beräkning till division med noll:
vilket är odefinierat.
Vid undersökning av en rationell funktion är, förutom derivatans nollställen, även nämnarens nollställen intressanta, eftersom nämnaren måste vara nollskild.
Det finns tre fall att undersöka med utgångspunkt i täljarens respektive nämnarens gradtal:
Med användning av exemplet i figur 1:
De lodräta asymptoterna är linjerna som svarar mot nämnarens nollställen:
De vågräta asymtoterna kan bestämmas genom att låta x gå mot oändligheten. Dividera med högstagradstermen i både täljare och nämnare:
Den vågräta asymptoten är alltså y = 1.
Det går också att använda polynomdivision, vilket ger likheten
När x går mot oändligheten går y mot
och den vågräta asymptoten är således y = 1
Till skillnad från de polynom på vilka rationella funktioner bygger, är det ofta ganska svårt att hitta primitiva funktioner då integranden är en rationell funktion. För integrering av rationella funktioner krävs ofta transformationer eller utnyttjande av kända integraler, vilket kan kräva omvandling av integranden till någon eller några av dessa kända former. Exempel på sådana integraler:
Bestäm integralen av
Efter polynomdivision kan f skrivas
Genom att tillämpa den första regeln är en möjlig primitiv funktion
Inom komplex analys ses rationella funktioner som avbildningar inom riemannsfären och specialfallet då båda polynomen i funktionen är linjära kallas Möbiusavbildning.
Inom abstrakt algebra är mängden av alla rationella funktioner över en kropp fraktionskroppen till polynomringen över kroppen.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.