Modus tollens

Modus tollens (latin: metod för förnekande) är en förkortad form av modus tollendo tollens, som är en slutledningsregel inom logiken. Regeln kan formellt skrivas:

${\displaystyle {\frac {P\to Q,\neg Q}{\therefore \neg P}}}$

Satslogiska slutledningsregler
Modus ponendo ponens Modus tollendo tollens Modus tollendo ponens Deduktionsteoremet Reductio ad absurdum Och-eliminering Och-introducering Eller-eliminering Eller-introducering HS-regeln
Predikatlogiska slutledningsregler
Universell generalisering Existentiell generalisering Universell specifikation Existentiell specifikation
Andra slutledningsregler
Dilemma
Denna tabell: visa • redigera

vilket betyder att av två premisser, där den ena är en materiell implikation och den andra är negationen av implikationens andra led, följer negationen av implikationens första led.

Från premissena P→Q och ${\displaystyle \neg }$Q kan således slutsatsen ${\displaystyle \neg }$P dras.

Regeln är relaterad till egenskapen kontraposition av den materiella implikationen, det vill säga att A → B är ekvivalent med ¬B → ¬A, vilken senare sats tillsammans med ${\displaystyle \neg }$B och slutledningsregeln modus ponens ger ${\displaystyle \neg }$A.

Exempel: Från "Om min klocka går rätt, så är tåget försenat" och "Tåget är inte försenat" kan man dra slutsatsen "Min klocka går inte rätt".

Formellt kan regeln även skrivas:

${\displaystyle P\to Q,\neg Q\vdash \neg P}$, där ${\displaystyle \vdash }$ betyder satslogisk konsekvens.

Regeln uttryckt som en tautologi eller som ett teorem i satslogiken skrivs:

${\displaystyle ((P\to Q)\land \neg Q)\to \neg P}$

Inom predikatlogik finns följande formulering:

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}&\forall x:&P(x)\rightarrow Q(x)\\&\exists x:&\neg Q(x)\\\therefore &\exists x:&\neg P(x)\end{array}}}$

Vilket kan utläsas: Allt som uppfyller P uppfyller Q. Det finns ett x som inte uppfyller Q. Alltså finns ett x som inte uppfyller P.

I mängdlära kan det uttryckas som:

${\displaystyle {\begin{array}{cc}&P\subseteq Q\\&x\notin Q\\\therefore &x\notin P\end{array}}}$

det vill säga, P är en delmängd till Q. x är inte ett element i Q. Alltså är x inte ett element i P.

Källor

• Elliott Mendelson, Elementary Logic, Oxford University Press, London 1965.
• Konrad Marc-Wogau, Modern Logik, Bonniers 1950.
• Geoffrey Hunter, Metalogic. An Introduction to the Metatheory of Standard First-Order Logic, MacMillan, London 1971.
• Göran Hermerén, Logik, Studentlitteratur, Lund 1967.