Loading AI tools
Från Wikipedia, den fria encyklopedin
von Kochs kurva, även känd som Koch-kurvan eller snöflingekurvan, beskrevs av den svenske matematikern Helge von Koch i en uppsats med titeln "Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire", publicerad år 1904 i Arkiv för matematik, astronomi och fysik. Syftet med uppsatsen var att ge ett geometriskt mer tilltalande exempel på en kontinuerlig kurva som saknar tangent i alla punkter, än det som Karl Weierstrass upptäckte 1861. Numera är Koch-kurvan även känd för att vara en av de först beskrivna fraktalerna, ett begrepp som myntades först 70 år senare.
Koch-kurvans definition:
Antalet nya linjer att operera på blir hela tiden 4 gånger tidigare antal linjer, så antalet linjer efter n iterationer blir följaktligen 4n. Linjen ökar sin längd med en tredjedel i varje ny iteration och kommer sålunda till slut att bli en oändligt lång kurva men inom en begränsad yta. Därför är kurvans dimensionstal inte ett heltal. Det här är anledningen till att Koch-kurvan är en fraktal, (av lat; fractus, bråkdel). Koch-kurvans Hausdorffdimension är .
Denna figur erhålls med början i en liksidig triangel. Vid varje iteration fyrdubblas antalet sidor och antalet sidor efter n iterationer är
Om den ursprungliga liksidiga triangeln har sidlängden s, är sidlängderna efter iteration n
Därmed är omkretsen efter n iterationer
det vill säga, omkretsen efter iteration n är gånger ursprungslängden. Snöflingans omkrets saknar alltså gränsvärde och går mot oändligheten när n går mot oändligheten. Däremot konvergerar dess area mot 8/5 gånger ursprungstriangelns area.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.