En hyperbolisk triangel är en triangel på ytan av ett hyperboliskt plan.
Hyperboliska trianglar på ett hyperboliskt plan
En hyperbolisk triangels area är
![{\displaystyle \arccos {\frac {\alpha +\beta +\gamma +\alpha \,\beta +\alpha \gamma +\beta \gamma +\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}-\alpha \,\beta \,\gamma }{(1+\alpha )(1+\beta )(1+\gamma )}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40510da744ff0b3f55123af2f1f24b7f2de240c2)
där
![{\displaystyle \alpha =\cosh a,\quad \beta =\cosh b,\quad \gamma =\cosh c}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11eaa28079ccc3332792c5394989935b6f33a9a1)
och a, b och c är längderna av triangelns sidor.
Om
![{\displaystyle \Delta ={\sqrt {1-\alpha ^{2}-\beta ^{2}-\gamma ^{2}+2\alpha \,\beta \,\gamma }}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ac68d03845d8a741bcf8f894d22a4f5782abe9d)
är större än noll, så gäller för vinkeln A som är motstående vinkel till sidan med längden a:
![{\displaystyle \sin {\frac {A}{2}}={\frac {\Delta }{4\cosh {\cfrac {a}{2}}\,\cosh {\cfrac {b}{2}}\,\cosh {\cfrac {c}{2}}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be8a9a9b71944579a3d563403c2b99933a393f83)
![{\displaystyle \tan {\frac {A}{2}}={\frac {\Delta }{1+\alpha +\beta +\gamma }}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91097212e81ea2de38b1afbd1c8ec43274312a79)