Loading AI tools
Från Wikipedia, den fria encyklopedin
Inom matematiken är en funktional en avbildning från ett vektorrum till den underliggande skalärkroppen (till exempel de reella eller komplexa talen).
Om är ett vektorrum över kroppen är en funktional en avbildning sådan att:
säges vara en linjär funktional om den är en linjär avbildning, d.v.s. följande gäller:
En sublinjär funktional är en funktional som uppfyller:
säges vara en begränsad linjär funktional om den är linjär och följande olikhet är uppfylld:
för något positivt reellt tal och alla , då man kan definiera en operatornorm av , som är:
Alla linjära begränsade funktionaler för ett vektorrum bildar det så kallade dualrummet för vektorrummet. Rummet som består av alla linjära funktionaler kallas för algebraiska dualen för vektorrummet.
Om vektorrummet är ett Hilbertrum med inre produkten kan, enligt Riesz representationssats, varje funktional f i dualrummet representeras av ett (fixt) element i Hilbertrummet, så att:
och f och får samma norm:
Normen på ett vektorrum är en funktional. Den är dock ej linjär, men sublinjär.
Den vanliga skalärprodukten på ett inre produktrum med en av vektorerna konstant är en linjär begränsad funktional.
Determinanten för alla kvadratiska matriser av storlek är en funktional på rummet av alla matriser av storlek .
En integral på ett intervall kan ses som en linjär funktional på funktionsrummet av alla kontinuerliga envariabelfunktioner, betecknat , dvs:
är alltså ett element i . är en linjär begränsad funktional med operatornorm:
Vilket kan inses om vi använder följande norm på :
Vi kan alltså skriva:
Detta ger (med operatornormsdefinitionen ovan):
För operatornormer gäller att: så att:
Om vi väljer , så att får vi med ovanstående formel att:
Så att och alltså måste .
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.