Fullständig (modellteori)

Inom matematisk logik sägs en teori T vara fullständig om för varje sluten formel kan avgöras i T.

Härledningsbegrepp
Medför - Följer av Bevis – Bevisbarhet Giltig - Giltighet Sund - Sundhet Konsekvent - Konsekvens Fullständig – Fullständighet Teorem Tautologi Kontradiktion Konträra satser Deduktion - Härledbarhet
Närliggande begrepp
Implikation Logisk sanning Sanning Motsägelse
Denna tabell: visa • redigera

Formell definition

Låt ${\displaystyle T}$ vara en teori i ett språk S. ${\displaystyle T}$ sägs vara fullständig om för varje sluten formel ${\displaystyle \phi \in S}$ gäller antingen

${\displaystyle T\vdash \phi }$ eller ${\displaystyle T\vdash \neg \phi }$

Detta villkor är ekvivalent med att ${\displaystyle T}$ är maximal, dvs att det inte finns någon konsistent mängd formler ${\displaystyle T'}$ så att ${\displaystyle T\subset T'}$ men ${\displaystyle T\neq T'}$.

Exempel

• Givet en modell M är mängden av formler sanna i M en fullständig teori.
• Teorin för algebraiskt slutna kroppar är fullständig.
• Teorin för en tät linjär ordning utan ändpunkter är fullständig.
• Mer allmänt är varje teori som är kategorisk i något kardinaltal fullständig.
• Teorin för differentiellt slutna kroppar är fullständig.
• Peanoaritmetiken är inte fullständig.
• Mer allmänt så är ingen rekursivt axiomatiserbar teori som interpreterar aritmetiken fullständig.