Јакобијан

Јакобијева матрица је матрица парцијалних извода првог реда неке функције и има облик:

${\displaystyle J_{F}\left(M\right)={\begin{pmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}.}$

Јакобијан је детерминанта Јакобијеве матрице. Добила је назив по немачком математичару Карлу Густаву Јакобију.

Дефиниција

Нека је ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}}$ функција са Еуклидова n- простора на Еуклидов m-простор. Таква функција има м компоненти:

${\displaystyle F:{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}f_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\vdots \\f_{m}(x_{1},\dots ,x_{n})\end{pmatrix}}.}$

Тада парцијални изводи тих функција чине Јакобијеву матрицу:

${\displaystyle J_{F}\left(M\right)={\begin{pmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}.}$

Матрица се означава и као:

${\displaystyle J_{F}\left(M\right),\qquad {\frac {\partial \left(f_{1},\ldots ,f_{m}\right)}{\partial \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)}}\qquad {\text{ili}}\qquad {\frac {\mathrm {D} \left(f_{1},\ldots ,f_{m}\right)}{\mathrm {D} \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)}}.}$

У случају да су ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ортогоналне Декартове координате тада матрица одговара градијенту компоненти функције, тј. ${\displaystyle \left(\nabla F_{i}\right)}$.

Јакобијан

У случају да је ${\displaystyle m=n}$ Јакобијева матрица је квадратна матрица па има детерминанту, која се назива Јакобијева детерминанта или Јакобијан. Јакобијан се користи за израчунавања вишеструких интеграла заменом координатнога система ${\displaystyle {\tilde {x}}_{j}\rightarrow x_{i}}$ тако да следи:

${\displaystyle \int \limits _{\tilde {\Omega }}f({\tilde {x}}_{1},{\tilde {x}}_{2},\dots ,{\tilde {x}}_{n})d{\tilde {x}}_{1}d{\tilde {x}}_{2}\dots d{\tilde {x}}_{n}=}$

${\displaystyle =\int \limits _{\Omega }f({\tilde {x}}_{1},{\tilde {x}}_{2},\dots ,{\tilde {x}}_{n}){\bigg |}{\frac {D({\tilde {x}}_{1},{\tilde {x}}_{2},\dots ,{\tilde {x}}_{n})}{D(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}}{\bigg |}dx_{1}dx_{2}\dots dx_{n}}$

Сферни координатни систем

У случају трансформације сфернога координатнога система заданога са (r, θ, φ) на картезијев координатни систем једначине трансформације су:

${\displaystyle x_{1}=r\,\sin \theta \,\cos \phi \,}$

${\displaystyle x_{2}=r\,\sin \theta \,\sin \phi \,}$

${\displaystyle x_{3}=r\,\cos \theta .\,}$

Јакобијева матрица је тада дана са:

${\displaystyle J_{F}(r,\theta ,\phi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x_{1}}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x_{1}}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial x_{1}}{\partial \phi }}\\[3pt]{\dfrac {\partial x_{2}}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x_{2}}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial x_{2}}{\partial \phi }}\\[3pt]{\dfrac {\partial x_{3}}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x_{3}}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial x_{3}}{\partial \phi }}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \,\cos \phi &r\,\cos \theta \,\cos \phi &-r\,\sin \theta \,\sin \phi \\\sin \theta \,\sin \phi &r\,\cos \theta \,\sin \phi &r\,\sin \theta \,\cos \phi \\\cos \theta &-r\,\sin \theta &0\end{bmatrix}}.}$

Јакобијан је детерминанта те матрице тј:

${\displaystyle \det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}=r^{2}\sin \theta .}$

Односно запремински елемент је тада:

${\displaystyle \mathrm {d} V=\left|\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}\right|\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi .}$

Поларни координатни систем

У поларном координатном систему једначине трансформације су:

${\displaystyle x\,=r\,\cos \,\phi$ ;}

${\displaystyle y\,=r\,\sin \,\phi .}$

Јакобијева матрица је дана са: ${\displaystyle J(r,\phi )={\begin{bmatrix}{\partial x \over \partial r}&{\partial x \over \partial \phi }\\{\partial y \over \partial r}&{\partial y \over \partial \phi }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\partial (r\cos \phi ) \over \partial r}&{\partial (r\cos \phi ) \over \partial \phi }\\{\partial (r\sin \phi ) \over \partial r}&{\partial (r\sin \phi ) \over \partial \phi }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \phi &-r\sin \phi \\\sin \phi &r\cos \phi \end{bmatrix}}}$ Јакобијева детерминанта или Јакобијан је онда једнак ${\displaystyle r}$. Због тога се двоструки интеграли могу из картезијевога система трансформисати у поларни систем на следећи начин:

${\displaystyle \iint _{A}dx\,dy=\iint _{B}r\,dr\,d\phi .}$

Литература

• Јакобијан
• Herbert Federer: Geometric measure theory. 1. izdanje. Springer, Berlin. 1996.  978-3-540-60656-7.