Дисперзија или варијанса је појам из теорије вероватноће и статистике. Она представља математичко очекивање одступања случајне променљиве од њене средње вредности. Варијанса је мера дисперзије, што значи да изражава колико је скуп бројева раширен од њихове просечне вредности. Варијанса има централну улогу у статистици, где неке идеје које је користе укључују дескриптивну статистику, статистичко закључивање, тестирање хипотезе, адекватност уклапања и Монте Карло узорковање. Варијанца је важан алат у науци, где је уобичајена примена статистичке анализе података. Варијанца је квадрат стандардне девијације, други централни моменатдистрибуције и коваријанса случајне променљиве са самом собом, а често се представља са , , , , или .[1]
Пример узорака из две популације са истом средњом вредношћу, али различитим варијацијама. Црвена популација има средњу вредност 100 и варијансу 100 (), док плава популација има средњу вредност 100 и варијансу 2500 ().
На пример, савршена коцка за игру може да да један од 6 исхода. Очекивана вредност броја којег ће коцка да покаже је (1+2+3+4+5+6)/6=3,5, очекивана стандардна девијација је σ ≈ 1.71 (квадратни корен аритметичке средине једнаковероватних квадрата апсолутних одступања: 3,5−1, 3,5−2, 3,5−3, 4−3,5, 5−3,5, 6−3,5, што даје 2,5, 1,5, 0,5, 0,5, 1,5, 2,5), очекивано квадратно одступање или варијанса је 17,5/6≈2,9 (средња вредност једнаковероватних квадрата одступања: 2,52, 1,52, 0,52, 0,52, 1,52, 2,52).
Нека је математичко очекивање реалног случајног вектора за који постоји интеграл квадрата његових вредности. Тада је варијанса случајне променљиве:
Ако је вектор једнодимензионалан, услови за могу да се упросте. Ако је , онда важи:
Ова дефиниција обухвата случајне варијабле које су генерисане процесима који су дискретни, континуирани, ни једно ни друго или мешовити. Варијанса се такође може сматрати коваријансом случајне променљиве са самом собом:
Варијанса је такође еквивалентна другом кумуланту дистрибуције вероватноће која генерише . Варијанса се обично означава као , или понекад као или , или симболично као или једноставно (изговара се „сигма на квадрат”). Израз за варијансу се може проширити на следећи начин:
Другим речима, варијанса X је једнака средњој вредности квадрата X минус квадрат средње вредности X. Ова једначина не би требало да се користи за прорачуне коришћењем аритметике са плутајућим зарезом, јер пати од катастрофалног поништавања ако су две компоненте једначине сличне по величини. За друге нумерички стабилне алтернативе погледајте алгоритме за израчунавање варијансе.
Дискретна случајна променљива
Ако је генератор случајне променљиве дискретан са функцијом вероватноће, онда је
где је очекивана вредност. То је,
(Када је таква дискретна пондерисана варијанса одређена пондерима чији збир није 1, тада се дели збиром пондера.)
Варијанца колекције од једнако вероватних вредности може се написати као
где је просечна вредност. То је,
Варијанца скупа од једнако вероватних вредности може бити еквивалентно изражена, без директног позивања на средњу вредност, у смислу квадрата одступања свих тачака једне од друге:[2]
на интервалу [0, ∞). Може се показати да је његова средња вредност
Користећи интеграцију по деловима и употребљавајући очекивану вредност која је већ израчуната, добија се:
Стога је варијанса од X дата изразом
Бацање коцке
Шестострана коца се може моделовати као дискретна рандомна променљива, X, са исходима од 1 до 6, сваки са једнаком вероватноћом 1/6. Очекивана вредност X је Дакле, варијанса X је
Општа формула за варијансу исхода, X, n-стране коцке је
Често коришћене дистрибуције вероватноће
Следећа табела наводи варијансу за неке често коришћене дистрибуције вероватноће.
Yuli Zhang; Huaiyu Wu; Lei Cheng (јун 2012). Some new deformation formulas about variance and covariance. Proceedings of 4th International Conference on Modelling, Identification and Control(ICMIC2012). стр.987—992.CS1 одржавање: Формат датума (веза)
Loève, Michel (1977). Probability Theory I. Springer. стр.246. ISBN3-540-90210-4.
Itô, Kiyosi (1984). Introduction to Probability Theory. Cambridge University Press. стр.37. ISBN0 521 26960 1.
Lemons, Don S. (2002), An Introduction to Stochastic Processes in Physics, The Johns Hopkins University Press, ISBN0-8018-6866-1
Bevington, Philip R (1969). Data Reduction and Error Analysis for the Physical Sciences. New York, N.Y.: McGraw-Hill. OCLC300283069.
Strutz, T. (2010). Data Fitting and Uncertainty (A practical introduction to weighted least squares and beyond). Vieweg+Teubner. ISBN978-3-8348-1022-9.
Anscombe, F. J. (1948). „The Validity of Comparative Experiments”. Journal of the Royal Statistical Society. Series A (General). 111 (3): 181—211. JSTOR2984159. MR30181. doi:10.2307/2984159.
Gelman, Andrew (2008). „Variance, analysis of”. The new Palgrave dictionary of economics (2nd изд.). Basingstoke, Hampshire New York: Palgrave Macmillan. ISBN978-0-333-78676-5.
Hinkelmann, Klaus; Kempthorne, Oscar (2008). Design and Analysis of Experiments. I and II (Second изд.). Wiley. ISBN978-0-470-38551-7.