Бета-функција

У математици, бета-функција, позната и као Ојлеров интеграл прве врсте, је специјална функција два комплексна аргумента, дефинисана за ${\displaystyle \Re (x),\Re (y)>0}$ интегралом

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt.}$

Доказује се да се бета-функција може изразити у зависности од гама-функције као

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}},}$

одакле се даље изводе сва њена својства. Посебно, за природне бројеве m и n je

${\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {B} (m,n)}}={\frac {mn}{m+n}}{{m+n} \choose {m}},}$

тако да се може рећи да бета-функција уопштава биномне коефицијенте. Горња основна релација даје и аналитичко продужење бета-функције до мероморфне функције, дефинисане за све комплексне бројеве x и y, осим полова кад год је један од бројева x, y, или ${\displaystyle x+y}$ непозитиван цео број.

Бета-функција је очигледно симетрична, односно ${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (y,x)}$. Друга важна својства су тригонометријски облик

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=2\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{2x-1}\theta \sin ^{2y-1}\theta \,d\theta }$

и алтернативни интегрални облик

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,dt.}$

Као и биномни коефицијенти, и бета-функција задовољава низ рекурентних једнакости, на пример ${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x+1,y)+\mathrm {B} (x,y+1)}$.

Бета-функција је од великог значаја у Математичкој Анализи, Вероватноћи и статистици, Теорији Бројева, Комбинаторици и другим областима Математике, те у Физици, техници и другим областима.

Са апстрактне алгебарске тачке гледишта, интеграл којим се дефинише бета-функција представља адитивну конволуцију два мултипликативна карактера поља реалних бројева ${\displaystyle {\mathbb {R} }}$. На тај начин своју бета-функцију има, на пример, свако нормирано локално поље.

Види још: непотпуна бета-функција.

Доказ релације B ( x , y ) = Γ ( x ) Γ ( y ) / Γ ( x + y ) {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\Gamma (x)\Gamma (y)/\Gamma (x+y)}

Према дефиницији гама-функције, имамо

${\displaystyle \Gamma (x)\Gamma (y)=\int _{0}^{\infty }e^{-u}u^{x-1}\,du\int _{0}^{\infty }e^{-v}v^{y-1}\,dv.}$

Овај двоструки–поновљени интеграл по ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{+}}$, можемо према Фубинијевој теореми заменити двојним по ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{+}\times {\mathbb {R} }^{+}}$, у којем затим уводимо смену ${\displaystyle w=u+v}$. Користећи поново Фубинијеву теорему да заменимо двојни интеграл поновљеним, сада по новим променљивим u и w, добијамо

${\displaystyle \Gamma (x)\Gamma (y)=\int _{0}^{\infty }e^{-w}\left(\int _{0}^{w}u^{x-1}(w-u)^{y-1}\,du\right)\,dw,}$

Коначно, увођењем смене ${\displaystyle u=wt}$ у унутрашњем интегралу, следи

${\displaystyle \Gamma (x)\Gamma (y)=\int _{0}^{\infty }e^{-w}w^{x+y-1}\,dw\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt=\Gamma (x+y)\mathrm {B} (x,y).}$