−1

U matematici, −1 je aditivno inverzna vrednost od 1.^[1][2] Drugim rečima, to je broj koji kad se doda na 1 daje element aditivne identičnosti, 0. On je negativni ceo broj veći od negativne dvojke (−2) i manji od 0.^[3]

← −2 −1 0 →
−1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 → Spisak brojeva — Celi brojevi ← 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 →
Kardinalni broj	−1, minus jedan, negativno jedan
Redni broj	−1. (minus prvo)
Arapski	−١
Kineski broj	负一，负弌，负壹
Bengalski	−১
Binarni (bajt)	S&M: 1000000012 2sC: 111111112
Heks (bajt)	S&M: 0x10116 2sC: 0xFF16

−1

Negativna jedinica je povezana sa Ojlerovim identitetom jer je .^[4][5][6]

U razvoju softvera, −1 se često koristi kao inicijalna vrednost za cele brojeve i da bi se pokazalo da promenljiva ne sadrži korisne informacije.

Negativno jedan ima neka slična, ali malo drugačija svojstva kao pozitivne jedinice.^[7]

Algebarska svojstva

Množenje broja sa −1 je ekvivalentno sa promenom znaka broja. To se može dokazati koristeći zakon distributivnosti i aksiom da je 1 multiplikativni identitet: za koje je realni broj važi

${\displaystyle x+(-1)\cdot x=1\cdot x+(-1)\cdot x=(1+(-1))\cdot x=0\cdot x=0}$

gde se koristi činjenica da je svako realno puta nula 0 jednako 0, što proizilazi iz jednačine putem poništavanja

${\displaystyle 0\cdot x=(0+0)\cdot x=0\cdot x+0\cdot x\,}$

0, 1, −1, , i u kompleksnoj ili kartezijanskoj ravni

Drugim rečima,

${\displaystyle x+(-1)\cdot x=0\,}$

tako da je (−1) · , ili −, aritmetička inverzija od .

Kvadrat od −1

Kvadrat od −1, tj. −1 pomnoženo sa −1, jednako je 1. Konsekventno, proizvod dva negativna realna broja je pozitivan.

Za algebarski dokaz ovog rezultata, može se započeti jednačinom

${\displaystyle 0=-1\cdot 0=-1\cdot [1+(-1)]}$

Prva jednakost proizilazi iz gornjeg rezultata. Druga sledi iz definicije −1 kao aditivna inverzna vrednost od 1: upravo taj broj kada se doda na 1 daje 0. Sada, koristeći zakon distribucije, može se videti da

${\displaystyle 0=-1\cdot [1+(-1)]=-1\cdot 1+(-1)\cdot (-1)=-1+(-1)\cdot (-1)}$

Druga jednakost sledi iz činjenice da je 1 multiplikativni identitet. Međutim, sada dodavanje 1 na obe strane ove poslednje jednačine podrazumeva

${\displaystyle (-1)\cdot (-1)=1}$

Gornji argumenti važe za bilo koji prsten, koncept apstraktne algebre kojim se generalizuju celi brojevi i realni brojevi.

Kvadratni koren od −1

Iako nema realnih kvadratnih korena od −1, kompleksni broj zadovoljava ² = −1, i kao takav se može smatrati kvadratnim korenom od −1. Jedini drugi kompleksni broj čiji je kvadrat −1 je .^[8] U algebri kvaterniona, koja sadrži kompleksnu ravan, jednačina ² = −1 ima beskonačno mnogo rešenja.

Eksponencijacija do negativnih celih brojeva

Eksponencijacija nenultog realnog broja se može proširiti na negativne cele brojeve. Prema definiciji znači da podizanje broja na −1 stepen ima isti efekat kao izračunavanje njegove recipročne vrednosti. Ova definicija se zatim proširuje na negativne cele brojeve, očuvavajući eksponencijalni zakon za realne brojeve i .

Eksponencijacija na negativne cele brojeve se može proširiti do invertabilnih elemenata prstena, putem definisanja ⁻¹ kao multiplikativne inverzne vrednosti od .

−1 koje se javlja pored funkcija ili matrica ne označava njihovo podizanje na stepen −1, već njihove inverzne funkcije ili inverzne matrice. Na primer, je inverzna funkcija od , ili ⁻¹() je notacija za funkciju.

Računarska reprezentacija

Glavni članak: Reprezentacije brojeva sa znakom

Većina računarskih sistema predstavlja negativne celobrojne brojeve koristeći komplement dvojke. U takvim sistemima, −1 je predstavljen pomoću obrasca bitova sa svim jedinicama. Na primer, 8-bitni ceo broj sa znakom koji koristi komplement dvojke predstavljaće −1 kao binarni niz „11111111” ili „” u heksadecimalnom obliku (baza 16). Ako se protumači kao ceo broj bez znaka, ista niz biteva od jedinica predstavlja 2 − 1, najveću moguću vrednost koju bitova može da drži. Na primer, 8-bitni niz „11111111” iznad predstavlja 2⁸ − 1 = 255.

Programski jezici

U nekim programskim jezicima, kada se koristi za indeksiranje nekih tipova podataka (kao što je niz), −1 se može koristiti za identifikaciju poslednje (ili druge zadnje) stavke, u zavisnosti da li 0 ili 1 predstavlja prvu stavku. Ako je prva stavka indeksirana sa 0, tada −1 označava zadnju stavku. Ako je prva stavka indeksirana sa 1, tada −1 identifikuje predzadnju stavku.

Vidi još

• Manelausova teorema

Reference

Literatura

• [neophodna registracija]
• (razna izdanja),
• , & , 978-0-387-97993-9
• [neophodna registracija]
• , 978-0-88385-328-3
• , 0-691-05854-7
• , 978-0-691-11822-2
• , 0-14-014574-5
• , 978-0-88385-563-8

Spoljašnje veze

• (jezik: engleski)