Линеарно пресликавање

У математици, линеарно пресликавање (такође линеарна трансформација или линеарни оператор) је функција између два векторска простора, која очувава операције сабирања вектора и скаларног множења. Израз линеарна трансформација се често користи, посебно за линеарна пресликавање из неког векторског простора у самог себе (ендоморфизми).

У језику апстрактне алгебре, линеарно пресликавање је хомоморфизам векторских простора, или морфизам у категорији векторских простора над датим пољем.

Дефиниција и директне последице

Нека су и векторски простори над истим пољем . Функција је линеарно пресликавање ако за свака два вектора и из и сваки скалар из , важе следећа два услова:

${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)\,}$	адитивност
${\displaystyle f(ax)=af(x)\,}$	хомогеност

Ово је еквивалентно захтеву да за све векторе и скаларе , важи једнакост

${\displaystyle f(a_{1}x_{1}+\cdots +a_{m}x_{m})=a_{1}f(x_{1})+\cdots +a_{m}f(x_{m})}$

Понекад може да се узме да су и векторски простори над различитим пољима. Тада је неопходно одредити које од ових поља се узима у дефиницији линеарности. Ако су и векторски простори над пољем као у горњем случају, ради се о -линеарним пресликавањима. На пример конјугација комплексних бројева је -линеарно пресликавање , али није -линеарно.

ЛИнеарно пресликавање из у (где се посматра као векторски простор над самим собом) се назива линеарни функционал.

Из дефиниције директно следи да је . Стога се линеарна пресликавања понекад називају хомогеним линеарним пресликавањима (види: линеарна функција).

Примери

• Идентитета и нула-пресликавање су линеарни.

• За реалне бројеве, пресликавање ${\displaystyle x\mapsto x^{2}}$ није линеарно.

• За реалне бројеве, пресликавање ${\displaystyle x\mapsto x+1}$ није линеарно.

• Ако је матрица, онда дефинише линеарно пресликавање из у тако што шаље вектор колона у вектор колона . Обратно, свако линеарно пресликавање између коначно-димензионих векторских простора се може представити на овај начин.

• Интеграл даје линеарно пресликавање из простора свих интеграбилних функција реалне вредности на неком интервалу у

• Диференцирање је линеарно пресликавање из простора свих диференцијабилних функција у простор свих функција.

Литература

• Ayres, Frank, Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra, McGraw-Hill.