Компланарност

У геометрији, компланарност је особина скупа тачака да се налазе у истој равни. Три тачке су увек компланарне а, ако нису колинеарне, такође једнозначно дефинишу и раван у којој се налазе. Додавањем четврте тачке скупу од три неколинеарне тачке долази се у ситуацију када она мора да задовољава одређене услове да би све четири тачке биле компланарне.

Начини утврђивања

Узимају се четири различите и неколинеарне тачке , , и . Ако су најмање две од четири тачке колинеарне, такође су и компланарне. Ако има више од четири тачке, увек се могу изабрати три сталне и онда од осталих узимати једна по једна и тестирати на компланарност с њима.

Притом ће стање компланарности означавати исказ да тачке , , и припадају равни α, коју формирају тачке , и :

${\displaystyle A,B,C,D\in \alpha \left(A,B,C\right)}$

Линеарна зависност

Ако су четири тачке компланарне, вектори који се њима могу формирати морају бити линеарно зависни. Другим речима, ово би значило да верктор ${\displaystyle {\overrightarrow {AD}}}$ може да се изрази као линеарна комбинација вектора ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$ и ${\displaystyle {\overrightarrow {AC}}}$:

${\displaystyle {\overrightarrow {AD}}=\alpha {\overrightarrow {AB}}+\beta {\overrightarrow {AC}},\;\;\alpha ,\beta \in R}$

Ово исто важи и за друге комбинације, тј. ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$ се може изразити као линеарна комбинација ${\displaystyle {\overrightarrow {AC}}}$ и ${\displaystyle {\overrightarrow {AD}}}$, а ${\displaystyle {\overrightarrow {AC}}}$ се може изразити као линеарна комбинација ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$ и ${\displaystyle {\overrightarrow {AD}}}$.

Преко запремине дефинисаног паралелопипеда

Четири тачке одређују три вектора, што је довољно да би се њима дефинисао један паралелопипед. Ако би све ове тачке лежале у једној равни, то би значило да је његова висина једнака нули. Даља импликација ове особине би била да је и запремина тог паралелопипеда једнака нули. Из тога произилази да су тачке компланарне ако је запремина овако одређеног паралелопипеда једнака нули.

У тродимензионом простору можемо се користити мешовитим производом, који је еквивалент запремине:

${\displaystyle \left[{\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {AC}},{\overrightarrow {AD}}\right]=0\Leftrightarrow \left({\overrightarrow {AB}}\times {\overrightarrow {AC}}\right){\overrightarrow {AD}}=0\Leftrightarrow A,B,C,D\in \alpha \left(A,B,C\right)}$

Та зависност се такође може изразити кроз услов вредности детерминанте:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}A_{x}&A_{y}&A_{z}&1\\B_{x}&B_{y}&B_{z}&1\\C_{x}&C_{y}&C_{z}&1\\D_{x}&D_{y}&D_{z}&1\\\end{vmatrix}}=0\Leftrightarrow A,B,C,D\in \alpha \left(A,B,C\right)}$^[1]

То се такође може изразити кроз услов за детерминанту вектора које образују ове тачке:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\\\end{vmatrix}}=0\Leftrightarrow A,B,C,D\in \alpha \left(A,B,C\right)}$

При чему су употребљени вектори:

${\displaystyle {\overrightarrow {a}}={\overrightarrow {AB}},\;{\overrightarrow {b}}={\overrightarrow {AC}},\;{\overrightarrow {c}}={\overrightarrow {AD}}}$

Референце

1. Чланак о копланарности, на , Приступљено 9. 4. 2013.