Кардиналан број

За другу употребу, погледајте чланак Број (вишезначна одредница).

Кардиналан број коначног скупа је број елемената скупа. У случају бесконачних скупова кардиналан број се може дефинисати као врста бесконачног скупа у који се дати скуп може пресликати са бијекцијом.

Алеф нула, најмањи бесконачни кардинал

Врсте бесконачних скупова су такође познате као степени бесконачности од којих постоје два који су од посебног интереса

• ${\displaystyle \aleph _{0}}$ (алеф нула) - степен бесконачности скупа природних бројева
• ${\displaystyle c\,}$ - или континуум, степен бесконачности скупа реалних бројева

Скупови са кардиналним бројем ${\displaystyle \aleph _{0}}$ се такође зову пребројивим скуповима. Интуитивно, елементи пребројивог скупа ${\displaystyle S\,}$ се могу поређати помоћу бијекције на скуп природних бројева, тј. ${\displaystyle S=\lbrace a_{1},a_{2},a_{3},...\rbrace \,}$.

Теорија бројева и концепт бесконачности садрже доста резултата који се противе интуицији и делују изненађујуће за лаике нпр. скуп парних бројева ${\displaystyle P\,}$ је пребројив тј има „исти“ број елемената као скуп свих природних бројева ${\displaystyle N\,}$. Овај резултат лаички делује изненађујуће пошто на први поглед изгледа да постоји двоструко више природних бројева него парних, али се може једноставно доказати преко бијекције ${\displaystyle f:n\mapsto 2n}$ којом се парни бројеви могу поређати у ${\displaystyle \lbrace 2,4,6,...\rbrace \,}$.

Георг Кантор је формулисао хипотезу континуума која тврди да не постоји кардиналан број између ${\displaystyle \aleph _{0}}$ и континуума, тј. ${\displaystyle \aleph _{1}=c}$.

За дати скуп ${\displaystyle S\,}$ можемо дефинисати кардиналан број скупа свих подскупова ${\displaystyle S\,}$ као ${\displaystyle 2^{S}\,}$. Кардинални бројеви ${\displaystyle \aleph _{0}}$ и ${\displaystyle \aleph _{1}}$ су повезани преко једначине ${\displaystyle \aleph _{1}=2^{\aleph _{0}}}$. Генерализована хипотеза континуума тврди ${\displaystyle \aleph _{n+1}=2^{\aleph _{n}}}$.