Брауново кретање

Брауново кретање је начин кретања малог тела зароњеног у флуид, где тело има мању специфичну тежину од средине у којој се налази.^[1] Под таквим условима, доћи ће до хаотичног кретања тела, узрокованим сударима са молекулима средине. Овакво кретање се описује молекулско-кинетичком теоријом гасова и могуће га је посматрати под микроскопом. Винеров процес се у литератури такође често поистовећује са Брауновим кретањем. Винеров процес је заправо математичка формулација Брауновог кретања, док се формално под Винеровим процесом сматра стандардно Брауново кретање.^[2]

Дводимензионални случајни ход сребрног адатома на површини (111)^[3]

Пример Брауновог кретања: светлоплавом бојом је приказано Брауново кретање у 2048 корака, тамно плавом бојом је приказан сваки осми корак, те је иста путања представљена у 256 и црном бојом је путања поново редукована 8 пута и приказана је у 32 корака. Приказано је да Брауново кретање изгледа самослично на различитим скалама величине.

Овај образац кретања се обично састоји од насумичних флуктуација у положају честице унутар флуидног домена, након чега следи премештање у други домен. Свака релокације је праћена са више флуктуација унутар нове затворене запремине. Овај образац описује течност у термалној равнотежи, дефинисаној датом температуром. Унутар таквог флуида не постоји преференцијални правац струјања (као у транспортним феноменима). Тачније, укупни линеарни и угаони моменти течности остају једнаки нули током времена. Кинетичке енергије молекуларних Брауновских кретања, заједно са молекуларним ротацијама и вибрацијама, сумирају се у калоријску компоненту унутрашње енергије флуида (теорема о еквипартицији).

Ово кретање је названо по ботаничару Роберту Брауну, који је први описао овај феномен 1827. године, док је кроз микроскоп гледао полен биљке уроњен у воду.^[4] Године 1905, скоро осамдесет година касније, теоријски физичар Алберт Ајнштајн је објавио рад у коме је моделовао кретање честица полена које покрећу појединачни молекули воде, дајући један од својих првих великих научних доприноса.^[5] Правац силе атомског бомбардовања се стално мења, а у различито време честица је погођена више на једној страни него на другој, што доводи до наизглед насумичне природе кретања. Ово објашњење Брауновског кретања послужило је као убедљив доказ да атоми и молекули постоје, а даље га је експериментално потврдио Жан Перен 1908. Перен је добио Нобелову награду за физику 1926. „за свој рад на дисконтинуираној структури материје“.^[6]

Интеракције више тела које дају Браунов образац не могу се решити моделом који узима у обзир сваки укључени молекул. Последица тога је да се само модели вероватноће примењени на молекуларне популације могу користити да се то овај вид кретања опише. У наставку су представљена два таква модела статистичке механике, према Ајнштајну и Смолуховском. Друга, чисто пробабилистичка класа модела је класа модела стохастичких процеса. Постоје низови једноставнијих и компликованијих стохастичких процеса који конвергирају (у лимитима) у Брауновом кретању (погледајте насумично ходање и Донскерову теорему).^[7][8]

Историја

Ово је симулација Брауновог кретања 5 честица (жутих) које се сударају са великим скупом од 800 честица. Жуте честице остављају 5 плавих трагова (псеудо) насумичног кретања и једна од њих има црвени вектор брзине.

Ово је симулација Брауновог кретања велике честице (честице прашине) која се судара са великим скупом мањих честица (молекула гаса) које се крећу различитим брзинама у различитим насумичним правцима.

Репродуковано из књиге Жан Батисте Перена, , приказана су три трага кретања колоидних честица радијуса 0,53 , како се види под микроскопом. Узастопне позиције сваких 30 секунди спајају се правим сегментима (величина мреже је 3,2 ).^[9]

Научна песма римског филозофа-песника Лукреција „О природи ствари“ (око 60. п. н. е.) има изванредан опис кретања честица прашине у стиховима 113–140 из Књиге . Он ово користи као доказ постојања атома:

Посматрајте шта се дешава када сунчеви зраци уђу у зграду и обасјају њена места у сенци. Видећете мноштво сићушних честица које се мешају на много начина... њихов плес је стварна индикација основних кретања материје која су скривена од нашег погледа... Она потиче од атома који се крећу сами од себе [ спонтано]. Тада се та мала компактна тела која су најмање удаљена од импулса атома покрећу њиховим невидљивим ударцима и затим она ударају о нешто већа тела. Дакле, кретање се диже од атома и постепено излази на ниво наших чула, тако да су у покрету она тела која видимо у сунчевим зрацима, покретана ударцима који остају невидљиви.

Иако је мешање честица прашине углавном узроковано ваздушним струјама, светлуцаво, преврћуће кретање малих честица прашине узроковано је углавном истинском Брауновом динамиком; Лукреције „погрешним примером савршено описује и објашњава Брауново кретање“.^[10]

Док је Јан Ингенхауз описао неправилно кретање честица угљене прашине на површини алкохола 1785. године, откриће овог феномена се често приписује ботаничару Роберту Брауну 1827. Браун је проучавао зрна полена биљке суспендована у води под микроскопом када је посматрао ситне честице које избацују поленова зрнца, при чему оне врше цимајуће покрете. Понављајући експеримент са честицама неорганске материје, успео је да искључи да је кретање животно, иако је његово порекло тек требало да буде објашњено.

Прва особа која је описала математику иза Брауновог кретања био је Торвалд Н. Тиел у раду о методи најмањих квадрата објављеном 1880. Ово је независно пратио Луј Бачелер 1900. године у својој докторској тези „Теорија спекулације”, у којој је представио стохастичку анализу тржишта акција и опција. Често се цитира Браунов модел кретања на берзи, мада је Беноа Манделброт је одбацио његову применљивост на кретања цена акција делимично зато што су оне дисконтинуирне.^[11]

Примена

Ова појава је први пут уочена када је под микроскопом посматран полен цвећа у капљици воде. Брауново кретање такође представља један од начина кретања бактерија.

Формална дефиниција

Винеров процес или стандардно Брауново кретање је низ случајних променљивих ${\displaystyle B(t)}$ где је ${\displaystyle B(0)=0}$ и за које важи да је за све вредности ${\displaystyle t'<t}$ разлика ${\displaystyle B(t)-B(t')}$ дистрибуирана по Гаусовој расподели са варијансом ${\displaystyle t-t'}$, и не зависи од ${\displaystyle B(t'')}$ за ${\displaystyle t''\leq t'}$.

Винеров процес је Гаусов, Марковљев и нестационаран стохастички процес. Као такав, као врста Гаусовог процеса, Винеров процес ${\displaystyle x(t)}$ се може дефинисати преко прва два кумулативна момента као: ${\displaystyle \langle x(t)\rangle =0}$ и ${\displaystyle \langle x(t)x(t')\rangle ={\tilde {\sigma }}\min(t,t')}$.^[12]

Види још

• Брауново дрво

Референце

1. Feynman, R. (1964). „The Brownian Movement”. The Feynman Lectures of Physics, Volume I. стр. 41-1.
2. Брауново кретање и Винеров процес, Michael Halls-Moore, 2012, приступљено: 29. јануар 2017.
3. Meyburg, Jan Philipp; Diesing, Detlef (2017). „Teaching the Growth, Ripening, and Agglomeration of Nanostructures in Computer Experiments”. Journal of Chemical Education. 94 (9): 1225—1231. Bibcode:2017JChEd..94.1225M. doi:10.1021/acs.jchemed.6b01008.
4. Мишић, Милан, ур. (2005). Енциклопедија Британика. А-Б. Београд: Народна књига : Политика. стр. 174. ISBN 86-331-2075-5.
5. Einstein, Albert (1905). „Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen” [On the Movement of Small Particles Suspended in Stationary Liquids Required by the Molecular-Kinetic Theory of Heat] (PDF). Annalen der Physik (на језику: немачки). 322 (8): 549—560. Bibcode:1905AnP...322..549E. doi:10.1002/andp.19053220806 .
6. „The Nobel Prize in Physics 1926”. NobelPrize.org (на језику: енглески). Приступљено 2019-05-29.
7. Knight, Frank B. (1962-02-01). „On the random walk and Brownian motion”. Transactions of the American Mathematical Society (на језику: енглески). 103 (2): 218. ISSN 0002-9947. doi:10.1090/S0002-9947-1962-0139211-2 .
8. „Donsker invariance principle - Encyclopedia of Mathematics”. encyclopediaofmath.org. Приступљено 2020-06-28.
9. Perrin, Jean (1914). Atoms. London : Constable. стр. 115.
10. Tabor, D. (1991). Gases, Liquids and Solids: And Other States of Matter (3rd изд.). Cambridge: Cambridge University Press. стр. 120. ISBN 978-0-521-40667-3.
11. Mandelbrot, B.; Hudson, R. (2004). The (Mis)behavior of Markets: A Fractal View of Risk, Ruin, and Reward. Basic Books. ISBN 978-0-465-04355-2.
12. Две алтернативне конструкције Винеровог процеса, Eric Vanden-Eijnden, приступљено: 29. јануар 2017.

Литература

• Brown, Robert (1828). „A brief account of microscopical observations made in the months of June, July and August, 1827, on the particles contained in the pollen of plants; and on the general existence of active molecules in organic and inorganic bodies” (PDF). Philosophical Magazine. 4 (21): 161—173. doi:10.1080/14786442808674769. Also includes a subsequent defense by Brown of his original observations, Additional remarks on active molecules.
• Chaudesaigues, M. (1908). „Le mouvement brownien et la formule d'Einstein” [Brownian motion and Einstein's formula]. Comptes Rendus (на језику: француски). 147: 1044—6.
• Clark, P. (1976). „Atomism versus thermodynamics”. Ур.: Howson, Colin. Method and appraisal in the physical sciences. Cambridge University Press. ISBN 978-0521211109.
• Cohen, Ruben D. (1986). „Self Similarity in Brownian Motion and Other Ergodic Phenomena” (PDF). Journal of Chemical Education. 63 (11): 933—934. Bibcode:1986JChEd..63..933C. doi:10.1021/ed063p933.
• Dubins, Lester E.; Schwarz, Gideon (15. 5. 1965). „On Continuous Martingales”. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 53 (3): 913—916. Bibcode:1965PNAS...53..913D. JSTOR 72837. PMC 301348 . PMID 16591279. doi:10.1073/pnas.53.5.913 .CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Einstein, A. (1956). Investigations on the Theory of Brownian Movement. New York: Dover. ISBN 978-0-486-60304-9. Приступљено 6. 1. 2014.CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Henri, V. (1908). „Études cinématographique du mouvement brownien” [Cinematographic studies of Brownian motion]. Comptes Rendus (на језику: француски) (146): 1024—6.
• Lucretius, On The Nature of Things, translated by William Ellery Leonard. (on-line version, from Project Gutenberg. See the heading 'Atomic Motions'; this translation differs slightly from the one quoted).
• Nelson, Edward, (1967). Dynamical Theories of Brownian Motion. (PDF version of this out-of-print book, from the author's webpage.) This is primarily a mathematical work, but the first four chapters discuss the history of the topic, in the era from Brown to Einstein.
• Pearle, P.; Collett, B.; Bart, K.; Bilderback, D.; Newman, D.; Samuels, S. (2010). „What Brown saw and you can too”. American Journal of Physics. 78 (12): 1278—1289. Bibcode:2010AmJPh..78.1278P. S2CID 12342287. arXiv:1008.0039 . doi:10.1119/1.3475685.
• Perrin, J. (1909). „Mouvement brownien et réalité moléculaire” [Brownian movement and molecular reality]. Annales de chimie et de physique. 8th series. 18: 5—114.
  • See also Perrin's book "Les Atomes" (1914).
• von Smoluchowski, M. (1906). „Zur kinetischen Theorie der Brownschen Molekularbewegung und der Suspensionen”. Annalen der Physik. 21 (14): 756—780. Bibcode:1906AnP...326..756V. doi:10.1002/andp.19063261405.
• Svedberg, T. (1907). Studien zur Lehre von den kolloiden Losungen.
• Theile, T. N.
  • Danish version: "Om Anvendelse af mindste Kvadraters Methode i nogle Tilfælde, hvor en Komplikation af visse Slags uensartede tilfældige Fejlkilder giver Fejlene en 'systematisk' Karakter".
  • French version: "Sur la compensation de quelques erreurs quasi-systématiques par la méthodes de moindre carrés" published simultaneously in Vidensk. Selsk. Skr. 5. Rk., naturvid. og mat. Afd., 12:381–408, 1880.

Спољашње везе

• Einstein on Brownian Motion
• Discusses history, botany and physics of Brown's original observations, with videos
• "Einstein's prediction finally witnessed one century later" : a test to observe the velocity of Brownian motion
• Large-Scale Brownian Motion Demonstration