SR
All
Articles
Dictionary
Quotes
Map

Wikiwand ❤️ Wikipedia

PrivacyTerms

Аритметичка прогресија

From Wikipedia, the free encyclopedia

Аритметичка прогресија
ЗбирИзвођењеПроизводСтандардна девијацијаПресекФормуле на длану Види јошРеференцеЛитератураСпољашње везе

У математици, аритметичка прогресија (АП) или аритметички низ је низ бројева таквих да је разлика између узастопних чланова константна. На пример, ред 5, 7, 9, 11, 13, 15 … је аритметичка прогресија са међусобном разликом 2.

Ако је почетни члан аритметичке прогресије a 1 {\displaystyle a_{1}} {\displaystyle a_{1}} и међусобна разлика узастопних чланова d, онда је n-ти члан низа ( a n {\displaystyle a_{n}} {\displaystyle a_{n}}) дат формулом:

  a n = a 1 + ( n − 1 ) d , {\displaystyle \ a_{n}=a_{1}+(n-1)d,} {\displaystyle \ a_{n}=a_{1}+(n-1)d,}

и генерално

  a n = a m + ( n − m ) d . {\displaystyle \ a_{n}=a_{m}+(n-m)d.} {\displaystyle \ a_{n}=a_{m}+(n-m)d.}
Коначан део аритметичке прогресије се зове коначна аритметичка прогресија, а понекад се само зове аритметичка прогресија. Збир коначне аритметичке прогресије се назива аритметички низ.

Понашање аритметичке прогресије зависи од међусобне разлике d. Ако је међусобна разлика:

  • Позитивна, чланови ће расти ка позитивној бесконачности.
  • Негативни, чланови ће расти ка негативној бесконачности.
2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40
14 + 11 + 8 + 5 + 2 = 40
16 + 16 + 16 + 16 + 16 = 80

Обрачун збира 2 + 5 + 8 + 11 + 14. Када је низ обрнут и додаје себи члан по члан, резултујући низ има једну поновљену вредност у себи, једнаку збиру првог и последњег броја (2 + 14 = 16). Тако је 16 × 5 = 80 дупли збир.

Збир чланова коначне аритметичке прогресије се зове аритметички низ. На пример, размотримо збир:

2 + 5 + 8 + 11 + 14 {\displaystyle 2+5+8+11+14} {\displaystyle 2+5+8+11+14}

Збир може бити брзо пронађен множењем броја n чланова који се додају (овде 5) збиром првог и последњег члана прогресије (овде 2 + 14 = 16), и дељењем 2:

n ( a 1 + a n ) 2 {\displaystyle {\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}} {\displaystyle {\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}}

У горњем случају, добијамо једначину:

2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 5 ( 2 + 14 ) 2 = 5 × 16 2 = 40. {\displaystyle 2+5+8+11+14={\frac {5(2+14)}{2}}={\frac {5\times 16}{2}}=40.} {\displaystyle 2+5+8+11+14={\frac {5(2+14)}{2}}={\frac {5\times 16}{2}}=40.}

Формула ради за било које реалне бројеве a 1 {\displaystyle a_{1}} {\displaystyle a_{1}} и  a n {\displaystyle a_{n}} {\displaystyle a_{n}}. На пример:

( − 3 2 ) + ( − 1 2 ) + 1 2 = 3 ( − 3 2 + 1 2 ) 2 = − 3 2 . {\displaystyle \left(-{\frac {3}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}={\frac {3\left(-{\frac {3}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)}{2}}=-{\frac {3}{2}}.} {\displaystyle \left(-{\frac {3}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}={\frac {3\left(-{\frac {3}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)}{2}}=-{\frac {3}{2}}.}

Извођење

Thumb
Анимирани доказ за формулу која даје збир првих целих бројева 1+2+...+n.

За извођење формуле изнад, треба почети изражавањем аритметичког низа на два различита начина: 

S n = a 1 + ( a 1 + d ) + ( a 1 + 2 d ) + ⋯ + ( a 1 + ( n − 2 ) d ) + ( a 1 + ( n − 1 ) d ) {\displaystyle S_{n}=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+\cdots +(a_{1}+(n-2)d)+(a_{1}+(n-1)d)} {\displaystyle S_{n}=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+\cdots +(a_{1}+(n-2)d)+(a_{1}+(n-1)d)}
S n = ( a n − ( n − 1 ) d ) + ( a n − ( n − 2 ) d ) + ⋯ + ( a n − 2 d ) + ( a n − d ) + a n . {\displaystyle S_{n}=(a_{n}-(n-1)d)+(a_{n}-(n-2)d)+\cdots +(a_{n}-2d)+(a_{n}-d)+a_{n}.} {\displaystyle S_{n}=(a_{n}-(n-1)d)+(a_{n}-(n-2)d)+\cdots +(a_{n}-2d)+(a_{n}-d)+a_{n}.}

Додавање обе стране две једначине, све чланови који се односе на d поништити:

  2 S n = n ( a 1 + a n ) . {\displaystyle \ 2S_{n}=n(a_{1}+a_{n}).} {\displaystyle \ 2S_{n}=n(a_{1}+a_{n}).}

Дељење обе стране 2 доводи до уобичајеног облика једначине:

S n = n 2 ( a 1 + a n ) . {\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}(a_{1}+a_{n}).} {\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}(a_{1}+a_{n}).}

Алтернативна форма резултата из поновног додавања замене: a n = a 1 + ( n − 1 ) d {\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d} {\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}:

S n = n 2 [ 2 a 1 + ( n − 1 ) d ] . {\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}[2a_{1}+(n-1)d].} {\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}[2a_{1}+(n-1)d].}

Додатно, главна вредност низа може бити израчуната помоћу: S n / n {\displaystyle S_{n}/n} {\displaystyle S_{n}/n}:

n ¯ = a 1 + a n 2 . {\displaystyle {\overline {n}}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}.} {\displaystyle {\overline {n}}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}.}

Године 499. АД Ариабата, истакнути математичар-астроном из класичног доба индијске математике и индијске астрономије, је дао овај метод у Ариабатији (одељак 2.18).

Производ чланова коначне аритметичке прогресије са почетним чланом a1, међусобним разликама d, и n чланова укупно се одређује у затвореном изразу

a 1 a 2 ⋯ a n = d a 1 d d ( a 1 d + 1 ) d ( a 1 d + 2 ) ⋯ d ( a 1 d + n − 1 ) = d n ( a 1 d ) n ¯ = d n Γ ( a 1 / d + n ) Γ ( a 1 / d ) , {\displaystyle a_{1}a_{2}\cdots a_{n}=d{\frac {a_{1}}{d}}d({\frac {a_{1}}{d}}+1)d({\frac {a_{1}}{d}}+2)\cdots d({\frac {a_{1}}{d}}+n-1)=d^{n}{\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}^{\overline {n}}=d^{n}{\frac {\Gamma \left(a_{1}/d+n\right)}{\Gamma \left(a_{1}/d\right)}},} {\displaystyle a_{1}a_{2}\cdots a_{n}=d{\frac {a_{1}}{d}}d({\frac {a_{1}}{d}}+1)d({\frac {a_{1}}{d}}+2)\cdots d({\frac {a_{1}}{d}}+n-1)=d^{n}{\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}^{\overline {n}}=d^{n}{\frac {\Gamma \left(a_{1}/d+n\right)}{\Gamma \left(a_{1}/d\right)}},}

где  x n ¯ {\displaystyle x^{\overline {n}}} {\displaystyle x^{\overline {n}}} означава растуће факторијеле и  Γ {\displaystyle \Gamma } {\displaystyle \Gamma } означава Гама функцију. (Приметимо да формула није валидна када је  a 1 / d {\displaystyle a_{1}/d} {\displaystyle a_{1}/d} i+негативан цео број или нула.)

Ово је генералисана форма чињенице да је производ прогресије 1 × 2 × ⋯ × n {\displaystyle 1\times 2\times \cdots \times n} {\displaystyle 1\times 2\times \cdots \times n} дат факторијелом  n ! {\displaystyle n!} {\displaystyle n!} што производи 

m × ( m + 1 ) × ( m + 2 ) × ⋯ × ( n − 2 ) × ( n − 1 ) × n {\displaystyle m\times (m+1)\times (m+2)\times \cdots \times (n-2)\times (n-1)\times n\,\!} {\displaystyle m\times (m+1)\times (m+2)\times \cdots \times (n-2)\times (n-1)\times n\,\!}

за позитивне целе бројеве  m {\displaystyle m} {\displaystyle m} и  n {\displaystyle n} {\displaystyle n} и дат је формулом

n ! ( m − 1 ) ! . {\displaystyle {\frac {n!}{(m-1)!}}.} {\displaystyle {\frac {n!}{(m-1)!}}.}

Узимајући пример одозго, производ чланова аритметичке прогресије дат као  an = 3 + (n-1)(5) до 50. члана је

P 50 = 5 50 ⋅ Γ ( 3 / 5 + 50 ) Γ ( 3 / 5 ) ≈ 3.78438 × 10 98 . {\displaystyle P_{50}=5^{50}\cdot {\frac {\Gamma \left(3/5+50\right)}{\Gamma \left(3/5\right)}}\approx 3.78438\times 10^{98}.} {\displaystyle P_{50}=5^{50}\cdot {\frac {\Gamma \left(3/5+50\right)}{\Gamma \left(3/5\right)}}\approx 3.78438\times 10^{98}.}

Стандардна девијација било које формуле аритметичке прогресије се може израчунати преко формуле:

σ = | d | ( n − 1 ) ( n + 1 ) 12 {\displaystyle \sigma =|d|{\sqrt {\frac {(n-1)(n+1)}{12}}}} {\displaystyle \sigma =|d|{\sqrt {\frac {(n-1)(n+1)}{12}}}}

где је  n {\displaystyle n} {\displaystyle n} број чланова у прогресији, а  d {\displaystyle d} {\displaystyle d} је међусобна разлика између чланова

Пресек било које две дупле бесконачне аритметичке прогресије је или празан или друга аритметичка прогресија, која се може пронаћи коришћењем теореме кинески подсетник. Ако сваке две прогресије у породици или дупле аритметичке прогресије имају не-празан пресек, онда постоји број заједнички за све њих; то је бесконачна аритметичка прогресија из Хели породице. Међутим, пресек бесконачно много бесконачних аритметичких прогресија може бити један број, пре него сама бесконачна прогресија.

 

Ако је

a 1 {\displaystyle a_{1}} {\displaystyle a_{1}} први члан аритметичке прогресије.
a n {\displaystyle a_{n}} {\displaystyle a_{n}} n-ти члан аритметичке прогресије.
d {\displaystyle d} {\displaystyle d} разлика између чланова аритметичке прогресије.
n {\displaystyle n} {\displaystyle n} број чланова аритметичке прогресије.
S n {\displaystyle S_{n}} {\displaystyle S_{n}} збир n чланова аритметичке прогресије.
n ¯ {\displaystyle {\overline {n}}} {\displaystyle {\overline {n}}} средња вредност аритметичког низа.

онда је

1.   a n = a 1 + ( n − 1 ) d , {\displaystyle \ a_{n}=a_{1}+(n-1)d,} {\displaystyle \ a_{n}=a_{1}+(n-1)d,}
2.   a n = a m + ( n − m ) d . {\displaystyle \ a_{n}=a_{m}+(n-m)d.} {\displaystyle \ a_{n}=a_{m}+(n-m)d.}
3. S n = n 2 [ 2 a 1 + ( n − 1 ) d ] . {\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}[2a_{1}+(n-1)d].} {\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}[2a_{1}+(n-1)d].}
4. S n = n ( a 1 + a n ) 2 {\displaystyle S_{n}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}} {\displaystyle S_{n}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}}
5. n ¯ {\displaystyle {\overline {n}}} {\displaystyle {\overline {n}}} = S n / n {\displaystyle S_{n}/n} {\displaystyle S_{n}/n}
6. n ¯ = a 1 + a n 2 . {\displaystyle {\overline {n}}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}.} {\displaystyle {\overline {n}}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}.}
  • Аритметичко-геометријски низ
  • Генералисана аритметичка прогресија - је скуп целих бројева конструисан као да је аритметичка прогресија, али уз неколико разлика.
  • Хармонијска прогресија
  • Херонијски троуглови са странама у аритметичкој прогресији
  • Проблеми који се односе на аритметичке прогресију
  • Атоналност
    • Sigler, Laurence E. (trans.) (2002). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. стр. 259-260. ISBN 978-0-387-95419-6.
    • Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Arithmetic series”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. 978-1556080104.
    • Weisstein, Eric W. „Arithmetic progression”. MathWorld.
    • Weisstein, Eric W. „Arithmetic series”. MathWorld.
    Edit in WikipediaRevision historyRead in Wikipedia

    Wikiwand in your browser!

    Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

    Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.

    Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.

    Chrome
    Wikiwand for Chrome
    Edge
    Wikiwand for Edge
    Firefox
    Wikiwand for Firefox

    Збир

    Производ

    Стандардна девијација

    Пресек

    Формуле на длану 

    Види још

    Референце

    Литература

    Спољашње везе