Њутн-Коутс формуле

У нумеричкој анализи, Њутн-Коутс формуле су класа поступака из нумеричке интеграције. Име су добиле по Исаку Њутну и математичару Роџеру Котсу.

Основа Њутн-Коутс формула су Лагранжови полиноми. Када желимо да израчунамо одређен интеграл неке дате функције (${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx}$), прво апроксимирамо дату функцију Лагранжовим полиномом па после израчунавамо интеграл тог полинома уместо функције (под претпоставком да смо добили ${\displaystyle n+1}$ тачака те функције).

Значи:

${\displaystyle f(x)\approx P(x)=\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})l_{i}^{n}(x),x_{i}\in [a,b]}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\approx \int _{a}^{b}P(x)dx=\int _{a}^{b}\sum _{i=0}^{n}f(x_{i})l_{i}^{n}(x)dx}$

${\displaystyle f(x_{i})}$ су тачке дате функције за једнако распоређених ${\displaystyle n+1}$ апсциса ${\displaystyle x_{i}}$ у интервалу ${\displaystyle [a,b]}$.

f(x_i) можемо да сматрамо констатама, а због правила суме при интеграцији можемо да „извучемо“ суму испред интеграла:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\approx \sum _{i=0}^{n}f(x_{i})\underbrace {\int _{a}^{b}l_{i}^{n}(x)dx} _{c_{i}^{n}}}$

${\displaystyle l_{i}(x)}$ зависи само од тачака ${\displaystyle {x_{i},i=0,\dots ,n}}$, али не и од функције ${\displaystyle f(x)}$. Наша апроксимација постаје:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\approx (b-a)\sum _{i=0}^{n}c_{i}^{n}f(x_{i})}$

${\displaystyle c_{i}^{n}}$ представљају Коутс бројеве, ${\displaystyle c_{i}^{n}={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}l_{i}^{n}(x)dx}$, који имају особине:

• ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}c_{k}^{n}=1}$
• ${\displaystyle c_{i}^{n}=c_{n-i}^{n}}$

За мали број тачака, ове формуле су добиле посебна имена (${\displaystyle f_{i}=f(x_{i})}$ ):

${\displaystyle x_{i}=a+i\cdot h,i=0,\dots ,n}$ за ${\displaystyle n\geq 1}$, ${\displaystyle h={\frac {b-a}{n}}}$, ${\displaystyle n+1}$ је број тачака;

${\displaystyle x_{0}={\frac {a+b}{2}}}$ за ${\displaystyle n=1}$.

n	име	Формула	Грешка (${\displaystyle \xi \in [a,b]}$)
1	трапезоидно правило	${\displaystyle {\frac {h}{2}}(f_{0}+f_{1})}$	${\displaystyle -{\frac {h^{3}}{12}}\,f^{(2)}(\xi )}$
2	Симпсоново правило	${\displaystyle {\frac {h}{3}}(f_{0}+4f_{1}+f_{2})}$	${\displaystyle -{\frac {h^{5}}{90}}\,f^{(4)}(\xi )}$
3	Правило 3/8	${\displaystyle {\frac {3\,h}{8}}(f_{0}+3f_{1}+3f_{2}+f_{3})}$	${\displaystyle -{\frac {3\,h^{5}}{80}}\,f^{(4)}(\xi )}$
4	Милнеово правило	${\displaystyle {\frac {2\,h}{45}}(7f_{0}+32f_{1}+12f_{2}+32f_{3}+7f_{4})}$	${\displaystyle -{\frac {8\,h^{7}}{945}}\,f^{(6)}(\xi )}$

За велики број тачака у интервалу (${\displaystyle n\geq 5}$) овај метод постаје неприменљив. Са једне стране захтева много тачака, а са друге наступају грешке у рачуну; за ${\displaystyle n=8}$ и ${\displaystyle n\geq 10}$ добићемо чак негативне тежине.

Да бисмо добили прецизан резултат, размак између тачака h мора да буде прилично мали, што за велики интервал ${\displaystyle [a,b]}$ то неће бити случај. Једно од могућих решења је да интервал поделимо на више мањих и онда да на сваком појединачно извршимо нумеричку интеграцију.