From Wikipedia, the free encyclopedia
У математици, хиперболичка геометрија (позната и као геометрија Лобачевског или геометрија Бољај-Лобачевског) је нееуклидска геометрија, у којој је промењен пети постулат еуклидске геометрије.
Постулат паралелности у еуклидској геометрији је еквивалентан тврђењу да, у дводимензионом простору, за произвољну праву и тачку која јој не припада, постоји тачно једна права која садржи и не сече праву , односно која је паралелна са . У хиперболичкој геометрији постоје бар две праве кроз које немају заједничких тачака са , што значи да не важи постулат паралелности. У оквиру еуклидске геометрије конструисани су модели који поштују аксиоме хиперболичке геометрије, чиме је доказано да је пети постулат независан од осталих Еуклидових постулата.
У трећој деценији деветнаестог века Николај Лобачевски и Јанош Бољај, независно један од другога, предлажу да се теорија паралелних утемељи на аксиоми која негира пети Еуклидов постулат. Немајући пред собом очигледну слику која би подупрла њихов поглед на основе геометрије, они су успели да изграде теорију која је, како је касније показано, исто онолико логички ваљана колико и еуклидска геометрија. Они су, како млади Јанош Бољај истиче у једном писму свом оцу, „ни из чега“ створили „један сасвим нови свет“. Први пут је заснована једна теорија у којој се не може позвати на очигледност, заснована је геометрија у којој постоје тачка Б и права a која је не садржи, такве да у њима одређеној равни постоји више од једне праве која садржи Б, а са правом a нема заједничких тачака.
Из геометријског света у коме се у потпуности могло ослонити на интуицију засновану на представама које стварају чула, закорачило се у свет који постоји изван дохвата нашег искуства. Није стога изненађујуће што њихове замисли нису за њихова живота доживеле признање које им припада. Само је Гаус разумео дубину и далекосежност њихових идеја, будући да су се, према његовим речима, оне подударале са његовим замислима од којих је неке снивао више од тридесет година. Занимљиво, Гаус је знао за замисли обојице заснивача хиперболичке геометрије, но није упознао ни једног од њих са резултатима другог. До Бољаја је доспела једна расправа на немачком језику Николаја Лобачевског, док Лобачевски никада није сазнао за рад Јаноша Бољаја.
Геометрија Лобачевског је геометрија заснована на Хилбертовим аксиомама везе, распореда, подударности и непрекидности и аксиоми Лобачевског.
Аксиома Лобачевског: Постоје тачка Б и права а која не садржи тачку Б такве да у њима одређеној равни постоји више од једне праве која садржи Б, а са а нема заједничких тачака.
Тачка Б и права а имају својство Лобачевског.
Геометрија Лобачевског се назива и хиперболичка геометрија или геометрија Гаус-Бољај-Лобачевског или геометрија Бољај-Лобачевског. Простор у коме су задовољене аксиоме хиперболичке геометрије зваћемо хиперболичким или простором Лобачевског, а сваку његову раван хиперболичком равни или равни Лобачевског.
Ако би у хиперболичком простору постојале тачка и права које задовољавају Плејферова аксиома, онда би свака тачка и права која је не садржи задовољавале исту аксиому, што противречи аксиоми Лобачевског. Дакле, важи
Из Лежандрових теорема се може доказати и следећа
У апсолутној геометрији важи пет ставова о подударности троуглова. У хиперболичкој геометрији важи, поред тих пет, још један, такозвани шести став према подударности који карактрише хиперболички простор. Он гласи: Два троугла су подударна ако и само ако су им одговарајући углови међусобно подударни. Последица овог шестог става је: у хиперболичкој геометрији свака сличност је подударност.
У равни Лобачевског постоји бесконачно много правих које садрже тачку Б и са правом а немају заједничких тачака. Сем тих правих постоји и бесконачно много правих које садрже тачку Б и секу праву а. Скуп свих правих које пролазе кроз Б можемо поделити на два скупа и то скуп који садржи све праве које секу праву а и скуп свих правих које не секу праву а. Међу свим тим правама постоје две праве а1 и а2 које раздвајају ова два скупа. Оне припадају скупу правих које не секу праву а.
У еуклидској геометрији копланарне праве су биле паралелне ако су дисјунктне, а свака еквидистанта је била права. У хиперболичкој геометрији се особине паралелних правих суштински разликују од оних у еуклидској геометрији.
Постоји неколико модела који се користе за објашњавање Хиперболичке геометрије: Клајнов модел, Поенкареов диск модел, Поенкареов полуравански диск модел и Лоренцов модел. Ови модели дефинишу реалан хиперболички простор који задовољава аксиоме хиперболичке геометрије. Упркос именима која су добили, полураванске моделе је смислио Белтрами, а не Поенкаре или Клајн.
(a)
(b)
(c)
Одавде добијамо:
(1)
(2)
(3) .
Из (1) и (3) добијамо:
(3')
Користећи (1), (2) и (3), добијамо:
(4)
(5)
(6) .
Рачунањем, из дефиниције добијамо:
(7) .
Користећи и (c),
,
тако да је .
За сваки -троугао важи:
Дефиниција:
Ако се -тачке , и налазе на -pravoj, правој, онда је њихов хиперболички однос:
, \qquad ako je između i , a inače je:
Особине:
(1)
(2) ако је između i , онда важи
(3) ако су и са различитих страна , онда важи
(4) ако су и са различитих страна , онда важи
Ако -тачка не припада ниједној од -страница -троугла , тако да се и секу у , и у и и у , тада је:
.
Ако -права не пролази ни кроз једно теме -троугла , тако да сече у , у и у , тада је:
.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.