From Wikipedia, the free encyclopedia
У математици, аксиоматски систем је било који скуп аксиома из којих се неке или све аксиоме могу користити у вези са логичким извођењем теорема. Математичка теорија се састоји од аксиоматског система и свих изведених теорема. Аксиоматски систем који је у потпуности описан је посебан облик формалног система. Формална теорија типично значи аксиоматски систем, на пример формулисан унутар теорије модела. Формални доказ је комплетно извођење математичког доказа унутар формалног система.
Аксиоматски систем мора да буде:
Модел за аксиоматски систем је добро дефинисан скуп, који додељује значење недефинисаним терминима представљеним у систему, на начин који је тачан са односима дефинисаним у систему. Постојање конкретног модела доказује конзистентност система. Модел се назива конкретним ако су значења која су додељена објектима и релацијама из стварног света, за разлику од апстрактног модела заснованог на другим аксиоматским системима. Модели се такође могу користити за приказ независности аксиома у систему. Израдом валидног модела за подсистем без специфичне аксиома, показујемо да је изостављена аксиома независна ако њена исправност не мора нужно пратити из подсистема. За два модела се тврди да су изоморфна ако се једна-на-једна кореспонденција може пронаћи између њихових елемената, на начин који чува њихов однос. Аксиоматски систем за који је сваки модел изоморфан другом се зове категоријални (понекад категоричан), а својство категоричности (категоричност) осигурава потпуност система.
Математичке методе развијене су до одређеног степена софистицираности у древном Египту, Вавилону, Индији и Кини, очигледно без употребе аксиоматске методе. Еуклид је аутор најраније аксиоматске презентације еуклидске геометрије и теорије бројева. Многи аксиоматски системи развијени су у деветнаестом веку, укључујући не-еуклидску геометрију, темеље стварне анализе, Канторову теорију сетова, Фрегеов рад на темељу и Хилбертову "нову" употребу аксиоматске методе као истраживачког алата. На пример, група теорија је прво стављена на аксиоматску основу крајем тог века. Једном када се аксиоми разјасне (на пример, да се захтевају инверзни елементи), субјект би могао да настави аутономно, без обзира на порекло група трансформације тих студија.
Еуклид је први увео аксиоматски систем у геометрију негде око 300. године пре нове ере, док је тек Хилберт, крајем 19. века потпуно аксиоматизовао. Хилбертов аксиоматски систем је пример добро уређеног аксиоматског система. Састоји се од пет група аксиома. Прве четири групе чине апсолутну геометрију.
Прву групу аксиома чине аксиоме поретка и оне гласе:
Другу групу аксиома чине аксиоме распореда:
Трећу групу аксиома чине аксиоме подударности:
(B,C) ≅ (B',C'), (C,A) ≅ (C',A')}- и , тада је и
Четврту групу аксиома чине аксиоме непрекидности:
Аксиома назива се Пети Еуклидов постулат и она придружена са Апсолутном геометријом даје Еуклидску геометрију, а придруживањем аксиоме Лобачевског апсолутној геометрији добијамо Хиперболичку геометрију.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.