Случајна променљива

Случајна променљива, такође позната као рандомна променљива, рандомни квантитет или стокастичка променљива је функција дефинисана на ансамблу могућих исхода случајног процеса.^[1] Формални математички третман рандомне променљиве је тема теорије вероватноће. У том контексту, случајна променљива се схвата као мерљива функција дефинисана на простору елементарних исхода чији исходи су типично реални бројеви.^[2]

Овај графикон показује како је случајна променљива функција свих могућих исхода до нумеричких величина и како се она користи за дефинисање функције вероватноће.

Постоје два основна типа случајних променљивих: дискретне и непрекидне. Дискретне случајне променљиве пресликавају исходе из пребројивог скупа исхода у скуп вероватноћа (већих од или једнаких 0). Непрекидне случајне променљиве пресликавају непребројиви скуп исхода у функцију дефинисану на неком бесконачном домену (обично на скупу реалних бројева). Најчешће је вероватноћа сваког појединачног исхода непрекидне случајне променљиве 0, док је вероватноћа да променљива узме вредност из неког интервала позитивна. Могућа је и комбинација ова два типа.

Случајна променљива може имати векторску вредност ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}}$ или ${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} ^{n}}$, и у том случају говоримо о вектору исхода: ${\displaystyle \ \scriptstyle \ X\$ :\ \omega \ \mapsto \ X(\omega )\in \mathbb {R} ^{n}} или ${\displaystyle \scriptstyle \ X\$ :\ \omega \ \mapsto \ X(\omega )\in \mathbb {C} ^{n}} . Ако случајна променљива узима вредности из скупа функција дефинисаних у временском домену (на пример, шум радио-сигнала, секвенца лото бројева) говоримо о стохастичком процесу.^[3][4][5]

Игре на срећу су блиско повезане са случајним исходима (резултат бацања коцке, исход бацања новчића, окретања рулета...). Однос између случајног исхода и добитка у играма на срећу се заснива на функцијама теорије вероватноће. Случајним променљивима се придружује величина (метрика).

Нека је ${\displaystyle \ \scriptstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ простор елементарних исхода и ${\displaystyle \ \scriptstyle (E,{\mathcal {E}})}$ метрички простор. Случајна променљива ${\displaystyle \ \scriptstyle \Omega }$ ${\displaystyle \ \scriptstyle E}$ је свака метричка функција ${\displaystyle \ \scriptstyle X\ }$ аргумента ${\displaystyle \ \scriptstyle \Omega }$ која даје резултат у простору ${\displaystyle \ \scriptstyle E}$.

Услов „мерљивости“ ${\displaystyle \ \scriptstyle X}$ обезбеђује да слика ${\displaystyle \ \scriptstyle X}$ сваког елемента ${\displaystyle \ \scriptstyle B}$ скупа ${\displaystyle \ \scriptstyle {\mathcal {E}}}$ има придружену вероватноћу и дозвољава дефинисање мере вероватноће, која се дефинише изразом:

${\displaystyle \mathbb {P} _{X}(B)=\mathbb {P} \left(X^{-1}(B)\right)=\mathbb {P} \left(X\in B\right).}$

Функција ${\displaystyle \ \scriptstyle \mathbb {P} _{X}}$ се назива расподелом вероватноће случајне променљиве ${\displaystyle \ \scriptstyle X\ }$.

Дефиниција

Случајна променљива ${\displaystyle X\colon \Omega \to E}$ је мерљива функција из скупа могућих исхода ${\displaystyle \Omega }$ до мерљивог простора ${\displaystyle E}$. Техничка аксиоматска дефиниција захтева да ${\displaystyle \Omega }$ буде простор могућих исхода троструке вероватноће (погледајте теоретску дефиницију мере). Обично ${\displaystyle X}$ има реалну вредност (тј. ${\displaystyle E=\mathbb {R} }$).

Вероватноћа да ${\displaystyle X}$ поприма вредност у мерљивом скупу ${\displaystyle S\subseteq E}$ се записује као:

${\displaystyle \operatorname {Pr} (X\in S)=P(\{\omega \in \Omega |X(\omega )\in S\})}$,

где је ${\displaystyle P}$ мера вероватноће унутар ${\displaystyle \Omega }$.

Стандардни случај

У многим случајевима, ${\displaystyle E=}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$. У неком контекстима, термин рандомни елемент (погледајте наставке) се користи за означавање случајне променљиве која није овог облика.

Кад је имиџ (или опсег) од ${\displaystyle X}$ коначан или пребројив скуп, случајна промељива се назива дискретном случајном промељивом^[6]‍:399 а њена дистрибуција се може описати помоћу функције вероватноће која приписује вероватноћу свакој вредности у имиџу од ${\displaystyle X}$. Ако је имиџ непребројиво бесконачан онда се ${\displaystyle X}$ назива континуираном случајном промељивом.^[7][8] У специјалном случају да је она апсолутно континуирана, њена расподела се описује функцијом густине вероватноће, која приписује вероватноће интервалима; конкретно, свака појединачна тачка мора нужно имати нулту вероватноћу за апсолутно непрекидну случајну променљиву. Нису све континуиране случајне променљиве апсолутно континуиране,^[9] на пример дистрибуција смеше. Такве случајне променљиве се не могу описати густином вероватноће или функцијом вероватноће.

Свака случајна променљива може се описати њеном кумулативном расподелом вероватноће,^[10][11][12] која описује вероватноћу да ће случајна промељива бити мања или једнака од одређене вредности.

Референце

1. Blitzstein & Hwang 2014
2. Steigerwald, Douglas G. „Economics 245A – Introduction to Measure Theory” (PDF). University of California, Santa Barbara. Приступљено 26. 4. 2013.
3. Joseph L. Doob (1990). Stochastic processes. Wiley. стр. 46, 47.
4. Emanuel Parzen (2015). Stochastic Processes. Courier Dover Publications. стр. 7, 8. ISBN 978-0-486-79688-8.
5. Iosif Ilyich Gikhman; Anatoly Vladimirovich Skorokhod (1969). Introduction to the Theory of Random Processes. Courier Corporation. стр. 1. ISBN 978-0-486-69387-3.
6. Yates, Daniel S.; Moore, David S; Starnes, Daren S. (2003). The Practice of Statistics (2nd изд.). New York: Freeman. ISBN 978-0-7167-4773-4. Архивирано из оригинала 9. 02. 2005. г.
7. „Random Variables”. www.stat.yale.edu. Приступљено 2020-08-21.
8. Dekking, Frederik Michel; Kraaikamp, Cornelis; Lopuhaä, Hendrik Paul; Meester, Ludolf Erwin (2005). „A Modern Introduction to Probability and Statistics”. Springer Texts in Statistics (на језику: енглески). ISBN 978-1-85233-896-1. ISSN 1431-875X. doi:10.1007/1-84628-168-7.
9. Castañeda, L.; V. Arunachalam & Dharmaraja, S. (2012). Introduction to Probability and Stochastic Processes with Applications. Wiley. стр. 67.
10. Deisenroth, Marc Peter; Faisal, A. Aldo; Ong, Cheng Soon (2020). Mathematics for Machine Learning. Cambridge University Press. стр. 181. ISBN 9781108455145.
11. Park, Kun Il (2018). Fundamentals of Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications. Springer. ISBN 978-3-319-68074-3.
12. Montgomery, Douglas C.; Runger, George C. (2003). Applied Statistics and Probability for Engineers (PDF). John Wiley & Sons, Inc. стр. 104. ISBN 0-471-20454-4. Архивирано (PDF) из оригинала 2012-07-30. г.

Литература

• Blitzstein, Joe; Hwang, Jessica (2014). Introduction to Probability. CRC Press. ISBN 9781466575592.
• Fristedt, Bert; Gray, Lawrence (1996). A modern approach to probability theory. Boston: Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-3807-7.
• Kallenberg, Olav (1986). Random Measures (4th изд.). Berlin: Akademie Verlag. ISBN 978-0-12-394960-8. MR 0854102.
• Kallenberg, Olav (2001). Foundations of Modern Probability (2nd изд.). Berlin: Springer Verlag. ISBN 978-0-387-95313-7.
• Yates, Daniel S.; Moore, David S; Starnes, Daren S. (2003). The Practice of Statistics (2nd изд.). New York: Freeman. ISBN 978-0-7167-4773-4. Архивирано из оригинала 9. 02. 2005. г.
• Papoulis, Athanasios (1965). Probability, Random Variables, and Stochastic Processes (9th изд.). Tokyo: McGraw–Hill. ISBN 978-0-07-119981-0.
• Bressloff, Paul C. (2014). Stochastic Processes in Cell Biology. Springer. ISBN 978-3-319-08488-6.
• Van Kampen, N. G. (2011). Stochastic Processes in Physics and Chemistry. Elsevier. ISBN 978-0-08-047536-3.
• Lande, Russell; Engen, Steinar; Sæther, Bernt-Erik (2003). Stochastic Population Dynamics in Ecology and Conservation. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-852525-7.
• Laing, Carlo; Lord, Gabriel J. (2010). Stochastic Methods in Neuroscience. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-923507-0.
• Paul, Wolfgang; Baschnagel, Jörg (2013). Stochastic Processes: From Physics to Finance. Springer Science+Business Media. ISBN 978-3-319-00327-6.
• Dougherty, Edward R. (1999). Random processes for image and signal processing. SPIE Optical Engineering Press. ISBN 978-0-8194-2513-3.
• Bertsekas, Dimitri P. (1996). Stochastic Optimal Control: The Discrete-Time Case. Athena Scientific. ISBN 1-886529-03-5. Архивирано из оригинала 08. 06. 2023. г. Приступљено 26. 06. 2023.
• Thomas M. Cover; Joy A. Thomas (2012). Elements of Information Theory. John Wiley & Sons. стр. 71. ISBN 978-1-118-58577-1.
• Baron, Michael (2015). Probability and Statistics for Computer Scientists (2nd изд.). CRC Press. стр. 131. ISBN 978-1-4987-6060-7.
• Katz, Jonathan; Lindell, Yehuda (2007). Introduction to Modern Cryptography: Principles and Protocols. CRC Press. стр. 26. ISBN 978-1-58488-586-3.
• Baccelli, François; Blaszczyszyn, Bartlomiej (2009). Stochastic Geometry and Wireless Networks. Now Publishers Inc. ISBN 978-1-60198-264-3.
• Steele, J. Michael (2001). Stochastic Calculus and Financial Applications. Springer Science+Business Media. ISBN 978-0-387-95016-7.
• Musiela, Marek; Rutkowski, Marek (2006). Martingale Methods in Financial Modelling. Springer Science+Business Media. ISBN 978-3-540-26653-2.
• Shreve, Steven E. (2004). Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models. Springer Science+Business Media. ISBN 978-0-387-40101-0.
• Iosif Ilyich Gikhman; Anatoly Vladimirovich Skorokhod (1969). Introduction to the Theory of Random Processes. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-69387-3.
• Murray Rosenblatt (1962). Random Processes. Oxford University Press.
• Jarrow, Robert; Protter, Philip (2004). „A short history of stochastic integration and mathematical finance: the early years, 1880–1970”. A Festschrift for Herman Rubin. Institute of Mathematical Statistics Lecture Notes - Monograph Series. стр. 75–80. CiteSeerX 10.1.1.114.632 . ISBN 978-0-940600-61-4. ISSN 0749-2170. doi:10.1214/lnms/1196285381.
• Stirzaker, David (2000). „Advice to Hedgehogs, or, Constants Can Vary”. The Mathematical Gazette. 84 (500): 197—210. ISSN 0025-5572. JSTOR 3621649. S2CID 125163415. doi:10.2307/3621649.
• Donald L. Snyder; Michael I. Miller (2012). Random Point Processes in Time and Space. Springer Science & Business Media. стр. 32. ISBN 978-1-4612-3166-0.
• Guttorp, Peter; Thorarinsdottir, Thordis L. (2012). „What Happened to Discrete Chaos, the Quenouille Process, and the Sharp Markov Property? Some History of Stochastic Point Processes”. International Statistical Review. 80 (2): 253—268. ISSN 0306-7734. S2CID 80836. doi:10.1111/j.1751-5823.2012.00181.x.

Спољашње везе

• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Random variable”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. 978-1556080104.
• Zukerman, Moshe (2014), Introduction to Queueing Theory and Stochastic Teletraffic Models (PDF)
• Zukerman, Moshe (2014), Basic Probability Topics (PDF)