Katërkëndëshi ciklik

Në Gjeometrinë Euklidiane, Katërkëndësh Ciklik quhet katërkëndëshi kulmet e të cilit ndodhen në të njëjtin rreth. Ky rreth quhet rrethi i jashtëshkruar katërkëndëshit. Shembuj Katërkëndësh Ciklik janë drejtkëndëshët e trapezat dybrinjënjëshëm.

Shembuj Katërkëndëshi Ciklik

Të gjithë trekëndëshave u jashtëshkruhet një rreth, por kjo nuk ndodh me të gjithë katërkëndëshat. Kështu që një katërkëndësh të jetë ciklik duhet të plotësojë disa veti shtesë.

Kushtet që një katërkëndësh të jetë ciclik

Një katërkëndësh çfardo, le ta quajmë ${\displaystyle ABCD}$ është ciclik, nëse dhe vetëm nëse:  

• shuma e këndeve të kundërt është 180^o.  ${\displaystyle {\widehat {A}}+{\widehat {C}}={\widehat {B}}+{\widehat {D}}=180^{o}}$. Kjo është vetia dalluese e katërkëndëshit ciklik.
• këndi midis një brinje  dhe njërës diagonale është i barabartë me  këndin midis brinjës përballë dhe diagonales tjetër.
• prodhimi i gjatësive të diagonaleve të tij është i barabartë me shumën e prodhimit brinjëve të kundërta. ${\displaystyle AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD}$ (Ptolemy's theorem).
• mesoret e të katër brinjëve priten në një pikë të vetme.
• ${\displaystyle AE\cdot EC=BE\cdot ED}$, ku ${\displaystyle E}$ është pika e prerjes së diagonaleve ${\displaystyle AC}$ e ${\displaystyle BD}$.
• këndi i jashtëm është i barabartë me këndin e kundërt të brendshëm të tij.

Vetitë

Elementët e një katërkëndëshi ciklik

Nëse ${\displaystyle ABCD}$ është një katërkëndësh ciklik atëherë:

• ${\displaystyle FA\cdot FB=FD\cdot FC}$, ku ${\displaystyle F}$ është pika e prerjes së zgjatimit të brinjëve ${\displaystyle AB}$ e ${\displaystyle DC}$.
• ${\displaystyle {\frac {AE}{CE}}={\frac {AB}{CB}}\cdot {\frac {AD}{CD}}}$, si dhe ${\displaystyle {\frac {BE}{DE}}={\frac {BA}{DA}}\cdot {\frac {BC}{DC}}}$ ku ${\displaystyle E}$ është pika e prerjes së diagonaleve.^[1]
• ${\displaystyle {\widehat {AEB}}={\frac {{\widehat {AOB}}+{\widehat {COD}}}{2}}}$.
• sipërfaqja e tij është ${\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}$ (Brahmagupta's formula), ku ${\displaystyle s={\frac {1}{2}}\left(a+b+c+d\right)}$ është gjysma e perimetrit. Katërkëndësh ciklik ka sipërfaqen më të madhe nga të gjithë katëkëndshat që kanë të njëjtat gjatësi të brinjëve. Gjithashtu ${\displaystyle K={\frac {1}{4R}}{\sqrt {(ab+cd)(ac+bd)(ad+dc)}}.}$^[2]
• diagonalet e tij janë: ${\displaystyle p={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}}}$ dhe ${\displaystyle q={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}}}}$ ^[3].
• ${\displaystyle tan{\frac {\alpha }{2}}\cdot \tan {\frac {\gamma }{2}}=tan{\frac {\beta }{2}}\cdot tan{\frac {\delta }{2}}=1}$^[4]
• rrezja e rrethit jashtëshkuar është ${\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}}$^[5]

Burimet

1. A. Bogomolny, An Identity in (Cyclic) Quadrilaterals, Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles, [2], Accessed 18 March 2014.
2. Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2007), "On the diagonals of a cyclic quadrilateral" (PDF), Forum Geometricorum, 7: 147–9
3. Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).
4. Hajja, Mowaffaq (2008), "A condition for a circumscriptible quadrilateral to be cyclic" (PDF), Forum Geometricorum, 8: 103–6
5. Hoehn, Larry (March 2000), "Circumradius of a cyclic quadrilateral", Mathematical Gazette, 84 (499): 69–70, doi:10.2307/3621477, JSTOR 3621477