Funksioni i anasjelltë

Në matematikë, funksioni i anasjelltë i një funksioni ${\displaystyle f}$ (i quajtur edhe inversi i ${\displaystyle f}$ ) është një funksion që zhbën veprimin e ${\displaystyle f}$ . Inversi i ${\displaystyle f}$ ekziston nëse dhe vetëm nëse ${\displaystyle f}$ është bijektiv, dhe nëse ekziston, shënohet me ${\displaystyle f^{-1}.}$

Një funksion ${\displaystyle f}$ dhe inversi i tij ${\displaystyle f^{-1}}$ . Për shkak se ${\displaystyle f}$ pasqyron a në 3, inversi ${\displaystyle f^{-1}}$ e paraqet 3 në a .

Për një funksion ${\displaystyle f\colon X\to Y}$, e anasjellta e saj ${\displaystyle f^{-1}\colon Y\to X}$ pranon një përshkrim të qartë: ai dërgon çdo element ${\displaystyle y\in Y}$ tek elementi unik ${\displaystyle x\in X}$ e tillë që ${\displaystyle f(x)=y}$ .

Si shembull, merrni parasysh funksionin me vlerë reale të një ndryshoreje reale të dhënë nga ${\displaystyle f(x)=5x-7}$ . Mund të mendohet ${\displaystyle f}$ si funksioni i cili shumëzon hyrjen e tij (${\displaystyle x}$)me 5 dhe më pas zbret 7 nga rezultati. Për ta zhbërë këtë, shtohet 7 në hyrje, pastaj rezultati pjesëtohet me 5. Prandaj, inversi i ${\displaystyle f}$ është funksioni ${\displaystyle f^{-1}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ përcaktuar nga ${\displaystyle f^{-1}(y)={\frac {y+7}{5}}.}$

Përkufizimet

Nëse ${\displaystyle f}$ hartëzon ${\displaystyle X}$ në ${\displaystyle Y}$, atëherë ${\displaystyle f^{-1}}$ hartëzon ${\displaystyle Y}$ përsëri në ${\displaystyle X}$ .

Le të jetë ${\displaystyle f}$ një funksion domeni i të cilit është bashkësia ${\displaystyle X}$ dhe kodomani i të cilit është bashkësia ${\displaystyle Y}$ . Atëherë ${\displaystyle f}$ është i kthyeshëm nëse ekziston një funksion ${\displaystyle g}$ nga ${\displaystyle Y}$ në X i tillë që ${\displaystyle g(f(x))=x}$ per te gjithe ${\displaystyle x\in X}$ dhe ${\displaystyle f(g(y))=y}$ për të gjitha ${\displaystyle y\in Y}$ . ^[1]

Nëse ${\displaystyle f}$ është i kthyeshëm, atëherë ekziston saktësisht një funksion ${\displaystyle g}$ që plotëson këtë veti. Funksioni ${\displaystyle g}$ quhet inversi i ${\displaystyle f}$, dhe zakonisht shënohet si ${\displaystyle f^{-1}}$, një shënim i prezantuar nga John Frederick William Herschel në 1813.

Funksioni f është i kthyeshëm nëse dhe vetëm nëse është bijektiv. Kjo për shkak se kushti ${\displaystyle g(f(x))=x}$ për të gjitha ${\displaystyle x\in X}$ nënkupton që ${\displaystyle f}$ është injektiv, dhe kushti ${\displaystyle f(g(y))=y}$ për të gjitha ${\displaystyle y\in Y}$ do të thotë se ${\displaystyle f}$ është syrjektiv .

Funksioni i anasjelltë f −1 në f mund të përshkruhet në mënyrë eksplicite si funksion

${\displaystyle f^{-1}(y)=({\text{elementi unik }}x\in X{\text{ i tillë që }}f(x)=y)}$ .

I anasjellti dhe përbërja

Kujtoni se nëse ${\displaystyle f}$ është një funksion i kthyeshëm me fytyrë ${\displaystyle X}$ dhe shëmbëllim ${\displaystyle Y}$, atëherë

${\displaystyle f^{-1}\left(f(x)\right)=x}$, për çdo ${\displaystyle x\in X}$ dhe ${\displaystyle f\left(f^{-1}(y)\right)=y}$ për çdo ${\displaystyle y\in Y}$ .

Duke përdorur përbërjen e funksioneve, kjo shpallje mund të rishkruhet në ekuacionet e mëposhtme midis funksioneve:

${\displaystyle f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{X}}$ dhe ${\displaystyle f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{Y},}$

Shëmbuj

Funksioni kuadratik dhe rrënja katrore

Funksioni ${\displaystyle f:R\to [0,\infty ]}$ i dhënë nga ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ nuk është injektiv sepse ${\displaystyle (-x)^{2}=x^{2}}$ per te gjithe ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ . Prandaj, ${\displaystyle f}$ nuk është i kthyeshëm.

Nëse bashkësia e fytyrave të funksionit është e kufizuar në numrat realë jonegative, domethënë, ne marrim funksionin ${\displaystyle f\colon [0,\infty )\to [0,\infty );\ x\mapsto x^{2}}$ me të njëjtin rregull si më parë, atëherë funksioni është bijektiv dhe kështu, i kthyeshëm. ^[2] Funksioni i anasjelltë këtu quhet funksioni i rrënjës katrore (pozitiv) dhe shënohet me ${\displaystyle x\mapsto {\sqrt {x}}}$ .

Funksionet standarde të anasjellta

Tabela e mëposhtme tregon disa funksione standarde dhe të kundërtët e tyre:

Funksionet e anasjellta aritmetike

Funksioni ${\displaystyle f(x)}$	Inversi ${\displaystyle f^{-1}(y)}$	Shënime
${\displaystyle x+a}$	${\displaystyle y-a}$
${\displaystyle a-x}$	${\displaystyle a-y}$
${\displaystyle mx}$		${\displaystyle m\neq 0}$
${\displaystyle 1/x}$	(dmth ${\displaystyle y^{-1},}$ )	${\displaystyle x,y\neq 0}$
${\displaystyle x^{2}}$	${\displaystyle {\sqrt {y}}}$ (dmth ${\displaystyle y^{1/2}}$ )	vetëm ${\displaystyle x,y\geq 0}$
${\displaystyle x^{3}}$	${\displaystyle {\sqrt[{3}]{y}}}$ (dmth ${\displaystyle y^{1/3}}$ )	asnjë kufizim për ${\displaystyle x}$ dhe ${\displaystyle y}$
${\displaystyle x^{p}}$	${\displaystyle {\sqrt[{p}]{y}}}$ (dmth ${\displaystyle y^{1/p}}$ )	${\displaystyle x,y\geq 0}$ nëse ${\displaystyle p}$ është çift; numër i plotë ${\displaystyle p>0}$
${\displaystyle 2^{x}}$	${\displaystyle \log _{2}y}$	${\displaystyle y>0}$
${\displaystyle e^{x}}$	${\displaystyle \ln y}$	${\displaystyle y>0}$
${\displaystyle 10^{x}}$	${\displaystyle \log y,}$	${\displaystyle y>0}$
${\displaystyle a^{x}}$	${\displaystyle \log _{a}y}$	${\displaystyle y>0}$ dhe ${\displaystyle a>0}$
x e x	${\displaystyle W(y)}$	${\displaystyle x\geq -1}$ dhe ${\displaystyle y\geq -1/e}$
funksionet trigonometrike	funksionet e anasjellta trigonometrike	kufizime të ndryshme (shih tabelën më poshtë)
funksionet hiperbolike	funksionet hiperbolike të anasjellta	kufizime të ndryshme

Anasjellta e ${\displaystyle g\circ f}$ është ${\displaystyle f^{-1}\circ g^{-1}}$ .

1. Weisstein, Eric W. "Inverse Function". mathworld.wolfram.com (në anglisht). Marrë më 2020-09-08.
2. Lay 2006, p. 69, Example 7.24