Integrali
From Wikipedia, the free encyclopedia
Në matematikë, integrali është analogu i vazhdueshëm i shumës i cili përdoret për të llogaritur sipërfaqet, vëllimet dhe përgjithësimet e tyre. Integrimi, procesi i llogaritjes të integralit, është një nga dy veprimet thelbësore të njehsimit diferencial dhe integral ndërsa tjetri është diferencimi. Integrimi filloi si një metodë për të zgjidhur problemat në matematikë dhe fizikë, siç janë gjetja e sipërfaqjes poshtë një grafiku ose përcaktimi i zhvendosjes nga shpejtësia. Sot integrimi përdoret në një shumëllojshmëri të fushave të shkencës.
Integralet e renditura këtu quhen integrale të caktuara, të cilët mund të interpretohen si zona e shënuar në një vend të planit e cila është e kufizuar nga një grafik i një funksioni të dhënë ndërmjet dy pikave në boshtin e numrave real. Për lehtësi, zonat sipër boshtit të abshisave janë pozitive ndërsa ato poshtë janë negative. Integralet gjithashtu i referohen konceptit të integralit të pacaktuar. Teorema themelore e njehsimit diferencial dhe integral lidh integralet e caktuara me diferencimin dhe ofron një metodë për të llogaritur integralin e caktuar të një funksioni nëse dihet antiderivati i tij. Diferencimi dhe integrimi janë veprime të kundërta.
Edhe pse metoda për llogaritjen e sipërfaqeve dhe vëllimeve daton që nga matematika e grekëve të lashtë, parimet e integrimit u formuluan në mënyrë të pavarur nga Isak Njutoni dhe Gotfrid Vilhelm Lajbnici në fundin e shekullit të 17-të, të cilët e menduan sipërfaqen poshtë një grafiku si shuma e pafundme e drejtkëndëshave me gjerësi pambarimisht të vogël. Më vonë Bernard Riman dha një përcaktim rigoroz të integraleve i cili bazohej në një procedurë kufizuese e cila përafron sipërfaqen e një zone të lakuar duke e ndarë zonën në pllaka pambarimisht të holla. Në fillim të shekullit të 20-të Enri Lëbeg përgjithësoi formulimin e Rimanit duke shtuar atë që sot njihet si integrali i Lëbegut. Ky i fundit është më i fuqishëm se ai i Rimanit në kuptimin që një kategori më e madhe e funksioneve janë të integrueshme.
Integralet mund të përgjithësohen në varësi të llojit të funksionit dhe hapsirës në të cilën bëhet integrimi. Për shembull, një integral i një vije përcaktohet për funksione me dy ose më shumë ndryshore dhe intervali i integrimit zëvendësohet nga një lakore e cila lidh dy skajet e intervalit. Në një integral të sipërfaqes lakorja zëvendësohet nga një pjesë e sipërfaqes në hapësirën tre dimensionale.