From Wikipedia, the free encyclopedia
Në mekanikën statistikore dhe teorinë e informacionit, ekuacioni Fokker-Planck është një ekuacion diferencial i pjesshëm që përshkruan evolucionin kohor të funksionit të densitetit të probabilitetit të shpejtësisë së një grimce nën ndikimin e forcave të tërheqjes dhe forcave të rastit, si në lëvizjen Brauniane . Ekuacioni mund të përgjithësohet edhe në të vëzhgueshme të tjera. [1] Ekuacioni Fokker-Planck ka zbatime të shumta në teorinë e informacionit, teorinë e grafikëve, shkencën e të dhënave, financat, ekonominë etj.
Është emërtuar sipas Adriaan Fokker dhe Maks Plankut, të cilët e përshkruan atë në 1914 dhe 1917. [2] [3] Njihet gjithashtu si ekuacioni i parmë i Kollmogorovit, sipas Andrej Kollmogorovit, i cili e zbuloi në mënyrë të pavarur në 1931. [4]
Në një dimension hapësinor , për një proces Itô të drejtuar nga procesi standard Wiener dhe përshkruar nga ekuacioni diferencial stokastik (EDS)me drift dhe koeficient difuzioni , ekuacioni Fokker–Planck për densitetin e probabilitetit të ndryshores së rastit është [5]
Stampa:Equation box 1
Në pasuesen përdoret, use .
Përcaktoni gjeneratorin pambarimisht të vogël: (the following can be found in Ref.[6]):
Probabiliteti i kalimit , probabiliteti që të shkohet nga tek , shfaqet ketu; pritja matematike mund të shkruhet si Tani zëvëndësojmë përkufizimin e , shumëzoni me dhe integroni mbi . Limiti merret mbi Vëreni se që është teorema Çapman Kollmogorov. Ndryshimi i ndryshores lolo në , jep i cili është derivati i kohës. Më në fund arrijmë në Nga këtu mund të dalë ekuacioni i pasëm i Kollmogorovit. Nëse përdorim operatorin hermitian të konjuguar të , , të përcaktuar të tillë që atëherë arrijmë në ekuacionin e parmë të Kollmogorovit, ose ekuacionin Fokker-Planck, i cili, duke thjeshtuar shënimin , në formën diferenciale lexohet si
Mbetet çështja e përcaktimit troç të . Kjo mund të bëhen duke marrë pritjen matematike nga forma integralee lemës së Itôs:
Pjesa që varet nga zhduket për shkak të vetisë së martingalës.
Atëherë për një pjesëz nën kushtet e lemës së Itos, duke përdorur: mund të përllogaritet lehtësisht, duke përdorur integrimin me pjesë, se që na sjell tek ekuacioni Fokker-Planck:
Në përgjithësi, nëseku dhe janë vektorë N-dimensionalë, është një matricë dhe është një proces standard Wiener M -dimensional, dendësia e probabilitetit për plotëson ekuacionin Fokker–PlanckStampa:Equation box 1
me vektor drift dhe tensori i difuzionit , dmthNëse në vend të një EDS Itô , konsiderohet një EDS Stratonovich ,ekuacioni Fokker–Planck do të shprehet si: :
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.