Simetrična matrika

Simetrična matrika je kvadratna matrika (ima isto število stolpcev in vrstic), ki je enaka svoji transponirani matriki. To lahko zapišemo kot

${\displaystyle A=A^{\top }.\,\!}$.

Elementi simetrične matrike so enaki glede na glavno diagonalo, ki poteka od levega zgornjega dela do desnega spodnjega dela). Za elemente simetrične matrike velja

${\displaystyle a_{ij}=a_{ji}\,\!}$

kjer smo z ${\displaystyle a_{mn}\,}$ označili element v m-ti vrstici in n-tem stolpcu.

Primeri simetričnih matrik

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c\\b&d&e\\c&e&f\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1&3&0\\3&2&6\\0&6&5\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1&5\\5&7\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}2\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&-5\\3&-5&6\end{bmatrix}}.}$

Lastnosti

Simetrična matrika je vedno kvadratna (ima isto število stolpcev in vrstic). Za poljubno simetrično matriko ${\displaystyle A\,}$ z realnimi elementi velja

• vedno ima realne lastne vrednosti
• njeni lastni vektorji, ki pripadajo različnim lastnim vrednostim, so ortogonalni drug na drugega
• iz njenih lastnih vektorjev lahko vedno zgradimo ortonormirano bazo
• matriko ${\displaystyle A\,}$ lahko vedno pretvorimo v diagonalno matriko ${\displaystyle A=QDQ^{T}\,}$

kjer je

• ${\displaystyle Q\,}$ ortogonalna matrika, katere stolpci sestavljajo bazo iz lastnih vektorjev.
• ${\displaystyle D\,}$ diagonalna matrika z lastnimi vrednostmi matrike ${\displaystyle A\,}$ na diagonali.
• če obstaja matrika ${\displaystyle A^{-1}\,}$, potem je ta matrika simetrična, če je ${\displaystyle A\,}$ simetrična matrika.

Zunanje povezave

• Simetrična matrika na MathWorld (angleško)
• simetrične matrike (angleško)