Paposova veriga

Paposova veriga je skupina krožnic, ki ležijo znotraj arbelosa.

Paposova veriga.

Paposova veriga v arbelosu.

Prvi je verigo skonstruiral grški matematik, geometer in filozof Papos (okoli 290, okoli 350).

Konstrukcija

Arbelos je določen z dvema krožnicama C_u in C_v, ki sta tangentna v točki A kjer se C_u dotika C_v. Označimo polmere teh dveh krožnic z r_u in r_v. Papusova veriga je sestavljena iz krožnic v osenčenem področju (glej sliko, zgoraj na desni). Vse krožnice se dotikajo notranje ali zunanje krožnice. Označimo z r_n polmer n-te krožnice. Z d_n označimo premer n-te krožnice. S P_n pa označimo središčne točke (središča) teh krožnic.

Značilnosti

Središča krožnic

Elipsa

Vsa središča krožnic Paposove verige ležijo na elipsi. Vsota razdalj n-te krožnice iz Paposove verige do središč U in V arbelosovih krožnic je konstantna

${\displaystyle {\overline {\mathbf {P} _{n}\mathbf {U} }}+{\overline {\mathbf {P} _{n}\mathbf {V} }}=\left(r_{U}+r_{n}\right)+\left(r_{V}-r_{n}\right)=r_{U}+r_{V}}$.

To pa pomeni, da sta gorišči točki U in V, ki sta središči krožnic za določitev arbelosa.

Koordinate

Če je r = AC/AB, potem je središče n-te krožnice verige, v točki

${\displaystyle \left(x_{n},y_{n}\right)=\left({\frac {r(1+r)}{2[n^{2}(1-r)^{2}+r]}}~,~{\frac {nr(1-r)}{n^{2}(1-r)^{2}+r}}\right)}$

Polmeri krožnic

Če je r = AC/AB, potem je polmer n-te krožnice enak

${\displaystyle r_{n}={\frac {(1-r)r}{2[n^{2}(1-r)^{2}+r]}}}$

Steinerjeva veriga

V značilnostih je Paposova veriga analogna Steinerjevi verigi.

Glej tudi

• Steinerjeva veriga

Zunanje povezave

• Paposova veriga na MathWorld (angleško)
• Veriga včrtanih krožnic (angleško)
• Paposova veriga na WolframAlpha ^{[mrtva povezava]} (angleško)