Osemkotnik

Ósemkótnik ali s tujko óktagon (starogrško octogōnos < octo - osem + gōnos - ki ima kote) je v ravninski geometriji mnogokotnik z osmimi stranicami, osmimi oglišči in osmimi notranjimi koti.

Pravilni osemkotnik

Nepravilni osemkotnik

Vbočeni osemkotnik

Splošne značilnosti

V pravilnem osemkotniku so vse stranice in koti enaki, notranji kot pa znaša 3π/4 radianov, oziroma 135 stopinj. Pravilni osemkotnik je kot vsi pravilni mnogokotniki tetivni in hkrati tangentni mnogokotnik ter zato tudi bicentrični mnogokotnik. Vsota notranjih kotov v preprostem osemkotniku je enaka:

${\displaystyle S_{8}=(8-2)\cdot 180^{\circ }=1080^{\circ }\!\,.}$

Njegov Schläflijev simbol je {8}.

Polmer očrtane krožnice:

${\displaystyle R={\frac {a}{2}}{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}\approx 1,306563a\!\,,}$

${\displaystyle R=r{\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}\approx 1,082392r\!\,}$

in polmer včrtane krožnice:

${\displaystyle r={\frac {a}{2}}(1+{\sqrt {2}})\approx 1,207107a\!\,,}$

${\displaystyle r={\frac {R}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\approx 0,923880R\!\,.}$

Dolžina stranice ${\displaystyle a\,\!}$ je:

${\displaystyle a=R{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\approx 0,765367R\!\,,}$

${\displaystyle a=2r({\sqrt {2}}-1)\approx 0,828427r\!\,.}$

Razmerje polmerov:

${\displaystyle {\frac {R}{r}}={\frac {\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}{1+{\sqrt {2}}}}={\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}={\frac {2}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}\approx 1,082392\!\,.}$

Obseg

Obseg pravilnega osemkotnika z dolžino stranice ${\displaystyle a\,\!}$ je:

${\displaystyle o=8a\!\,.}$

Ploščina

Ploščina pravilnega osemkotnika z dolžino stranice ${\displaystyle a\,\!}$ je:

${\displaystyle p=2\,\operatorname {ctg} \,\left({\frac {\pi }{8}}\right)a^{2}=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\approx 4,828427a^{2}\!\,,}$

oziroma s polmeroma:

${\displaystyle p=4\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)R^{2}=2{\sqrt {2}}R^{2}\approx 2,828427R^{2}\!\,,}$

${\displaystyle p=8\,\operatorname {tg} \,\left({\frac {\pi }{8}}\right)r^{2}=8({\sqrt {2}}-1)r^{2}\approx 3,3137085r^{2}\!\,.}$

Zadnja dva koeficienta omejujeta vrednost števila π, ploščino enotskega kroga.

Ploščina pravilnega osemkotnika je dana tudi z:

${\displaystyle p=d_{2}^{2}-a^{2}\!\,,}$

kjer je ${\displaystyle d_{2}}$ razpon osemkotnika, oziroma dolžina druge najdaljše diagonale. Razpon osemkotnika je enak:

${\displaystyle d_{2}={\frac {a}{\sqrt {2}}}+a+{\frac {a}{\sqrt {2}}}=(1+{\sqrt {2}})a\!\,,}$

ploščina pa:

${\displaystyle p=((1+{\sqrt {2}})a)^{2}-a^{2}=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\!\,.}$

Konstrukcija

Pravilni osemkotnik lahko skonstruiramo z ravnilom in šestilom.

Uporabe osemkotnikov

V mnogih delih sveta imajo stop znaki obliko pravilnega osemkotnika.	Stikalo	Solnica	Zaboj z osnovno ploskvijo v obliki nepravilnega osemkotnika
Pladenj v obliki nepravilnega osemkotnika	Dežnik	Zvezda Lakšmi ima vrhove v obliki pravilnega osemkotnika	Rimski betonski obok v Rimu.
Viktorijin križec	Kupola cerkve Karmravor v Aštaraku

Osemkrako zvezdo, oktagram, s Schläflijevim simbolom {8/3}, očrtuje pravilni osemkotnik.	Racionalni približki pravilnih osemkotnikov, izpeljani iz Pellovih števil.	Ogliščno figuro pravilnega poliedra, velikega dirombikosidodekaedra, očrtuje nepravilni osemstrani zvezdasti mnogokotnik.	Osemstrana prizma ima za osnovni ploskvi dva osemkotnika.
Pokritje ravnine s prisekanim kvadratom ima ob vsakem oglišču 2 osemkotnika.	Prisekani kubični oktaeder ima 6 osemkotnikov.	Osemstrana antiprizma ima dva osemkotnika.	Penroseov osemkotnik.

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Octagon«. MathWorld.