Logaritem

Logarítem (starogrško λόγος: lógos - beseda + starogrško ἀριθμός: aritmós - število^[1]) oziroma logaritemska funkcija je v matematiki funkcija, ki iz eksponentne enačbe ${\displaystyle a^{y}=x}$ vrne eksponent ${\displaystyle y}$. Zapiše se jo v obliki ${\displaystyle y=\log _{a}x}$, kjer sta ${\displaystyle a,x\in \mathbb {R} ^{+}}$. To se bere logaritem x z osnovo a. ${\displaystyle x}$ se imenuje logaritmand ali pa argument.

Grafi funkcij ${\displaystyle \ln x\,}$ (modra), ${\displaystyle \log x\,}$ (rdeča) in ${\displaystyle \log _{1/2}x\,}$ (vijolična)

Logaritem števil 0-10. Na x-osi so argumenti logaritmov, na y-osi so vrednosti po enačbi ${\displaystyle y={\frac {1}{\log _{a}x}}={\frac {\log a}{\log x}}\,}$, krivulje pa označujejo osnove a

Algebrska definicija logaritma: ${\displaystyle \log _{a}x=y\Longleftrightarrow a^{y}=x}$

Logaritemska funkcija je definirana le za pozitivna števila, njena zaloga vrednosti pa so vsa realna števila:

${\displaystyle \log _{a}:\mathbb {R} ^{+}\longrightarrow \mathbb {R} \!\,.}$

Zgledi:

${\displaystyle \log _{2}8=3,\log _{5}125=3,\log _{2}\left({\frac {1}{16}}\right)=-4\!\,.}$

${\displaystyle \log _{3}{\sqrt {27}}=\log _{3}3^{\frac {3}{2}}={\frac {3}{2}}\!\,.}$

Antilogaritmiranje je postopek, s katerim se zapletenejši logaritemski izraz predela v eksponentno enačbo. To omogoča lažje reševanje.

Zgleda:

${\displaystyle \log _{2}{\sqrt {2}}=x\!\,}$ ${\displaystyle 2^{x}={\sqrt {2}}\!\,}$ ${\displaystyle 2^{x}=2^{\frac {1}{2}}\!\,}$ ${\displaystyle x={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle \log _{x}(x+2)=2\!\,}$ ${\displaystyle x^{2}=x+2\!\,}$ Dobimo kvadratno enačbo. ${\displaystyle x^{2}-x-2=0\!\,}$ ${\displaystyle (x-2)(x+1)=0\!\,}$ ${\displaystyle x_{1}=2\!\,}$ ${\displaystyle x_{2}=-1\!\,}$ Ta rešitev odpade, ker je osnova pri eksponentni funkciji definirana kot pozitivno število. ${\displaystyle R=\{2\}\!\,}$

Vrednosti logaritmov so pred pojavom računalnikov prebirali iz logaritemskih tablic. Slovenski matematik Jurij Vega je bil avtor znanega logaritmovnika Thesaurus Logarithmorum Completus.

Pravila za računanje z logaritmi

Vsota logaritmov

${\displaystyle \log _{a}x+\log _{a}y=\log _{a}(xy)\!\,.}$

Dokaz:

${\displaystyle \log _{a}x=d;\log _{a}y=e\Longrightarrow a^{d}=x;a^{e}=y\!\,}$

${\displaystyle xy=a^{d}\cdot a^{e}=a^{d+e}/\log _{a}\!\,}$

${\displaystyle \log _{a}(xy)=\log _{a}a^{d+e}=d+e=\log _{a}x+\log _{a}y\!\,}$

Razlika logaritmov

${\displaystyle \log _{a}x-\log _{a}y=\log _{a}\left({\frac {x}{y}}\right)\!\,}$

Dokaz:

${\displaystyle \log _{a}x=d;\log _{a}y=e\Longrightarrow a^{d}=x;a^{e}=y\!\,}$

${\displaystyle {\frac {x}{y}}={\frac {a^{d}}{a^{e}}}=a^{d-e}/\log _{a}\!\,}$

${\displaystyle \log _{a}{\frac {x}{y}}=\log _{a}a^{d-e}=d-e=\log _{a}x-\log _{a}y\!\,}$

Množenje logaritma s konstanto

${\displaystyle r\log _{a}x=\log _{a}x^{r}}$; ${\displaystyle r\in \mathbb {R} \!\,}$

Dokaz:

${\displaystyle \log _{a}x=b\Longrightarrow a^{b}=x\!\,}$

${\displaystyle x^{y}=(a^{b})^{y}=a^{by}/\log _{a}\!\,}$

${\displaystyle \log _{a}x^{y}=\log _{a}a^{by}=by=y\log _{a}x\!\,}$

Logaritmi z različnimi osnovami

Pogosto se pojavi potreba, da se znan logaritem izrazi z drugačno logaritemsko osnovo. Žepni računalniki znajo računati samo z dvema osnovama (10 in Eulerjevo število) razen če imate TI-36X PRO, ki lahko računa s katerokoli osnovo. Glede na to se loči desetiške ali Briggsove logaritme ter naravne logaritme.

Če logaritemska osnova ni podana, gre za desetiški logaritem: ${\displaystyle \log x=\log _{10}x}$.

Naravne logaritme se označuje z drugo oznako: ${\displaystyle \ln x=\log _{e}x}$.

Med logaritmi z različnimi osnovami se pretvarja po pravilu ${\displaystyle \log _{a}x={\frac {\log _{b}x}{\log _{b}a}}}$. Logaritem z osnovo a se je pretvoril v izraz z logaritmi z osnovo b. Če je b = 10 ali e, se lahko izračuna iskano vrednost ${\displaystyle \log _{a}x}$ kar z žepnim računalnikom: ${\displaystyle {\frac {\log x}{\log a}}}$ (oziroma ${\displaystyle {\frac {\ln x}{\ln a}}}$).

Iz pravil za pretvarjanje osnov logaritmov tudi sledi izrek: produkt dveh logaritmov z zamenjanima osnovama in argumentoma je 1. ${\displaystyle \log _{a}b\cdot \log _{b}a=1}$

Dokaz:

${\displaystyle \log _{a}b={\frac {\log _{b}b}{\log _{b}a}}\!\,}$

${\displaystyle \log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}\!\,}$

${\displaystyle \log _{a}b\cdot \log _{b}a=1\!\,}$

Zgodovina

Zgodovina logaritmov v Evropi sedemnajstega stoletja se je začela z odkritjem nove funkcije, ki je področje analize razširila izven dosega algebrskih metod. Metodo logaritmov je javno predstavil John Napier leta 1614 v knjigi z naslovom Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Opis čudovitega pravila logaritmov).^[2][3] Pred Napierjevim izumom so obstajale še druge tehnike podobnega obsega, na primer metoda prostafereza ali uporaba tabel zaporedij, ki jih je obširno razvil Jost Bürgi okoli leta 1600.^[4][5] Napier je izraz za logaritem skoval v srednji latinščini, "logarithmus", ki izhaja iz grščine, dobesedno pomeni "razmerje-število", iz logos "delež, razmerje, beseda" + aritmos "število".

Okoli leta 1730 je Leonhard Euler definiral exponentno funkcijo in naravni logaritev^[6][7][8]

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{x}&=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n},\\[6pt]\ln(x)&=\lim _{n\rightarrow \infty }n(x^{1/n}-1).\end{aligned}}}$

V učbeniku z leta 1748 pristopi do logaritmov kot inverzne funkcije ${\displaystyle y=a^{z}.}$ Saj inverzna oblika je:

z = log_a y.

Tabele logaritmov

Stran iz knjige Logarithmorum Chilias Prima Henryja Briggsa iz leta 1617 prikazuje logaritem osnove 10 (navadni) celih števil od 1 do 67 na štirinajst decimalnih mest.

Del tabele navadnih logaritmov iz 20. stoletja v referenčni knjigi Abramowitz in Stegun.

Stran iz tabele logaritmov trigonometričnih funkcij iz publikacije American Practical Navigator iz leta 2002. Za pomoč pri interpolaciji so vključeni stolpci razlik.

Matematične tabele logaritmov desetiškega sistema so bile velikokrat zelo koristno orodje pri računanju, saj so pred prihodom računalnikov bolj zapleteno množenje in deljenje spremenili v lažje funkcije seštevanja in odštevanja. Vsako število se je tako izrazilo kot seštevek enostavnih zmnožkov desetiške eksponentne funkcije.

Zgodnje tabele

Michael Stifel je objavil Arithmetica integra v Nürnbergu leta 1544, ki je vsebovala tabelo faktorjev s potencami števila 2. ^[9][10][11]

Angleški matematik Henry Briggs je objavil leta 1617 Logarithmorum Chilias Prima ("Prvih tisoč logaritmov"), ki so vsebovali preprost pregled nad logaritmi in tabelo za prvih 1000 celih števil, izračunanih do 14 decimalnega mesta.

Izboljšava leta 1624, Briggsova Arithmetica Logarithmica, je vsebovala logaritemske tabele 30 000 naravnih števil (1-20,000 in 90,001 to 100,000). To tabelo je razširil Adrian Vlacq, a za 10 decimalnih mest natančno. Hiter pregled natisnjenih tabel:^[12]

Leto	Avtor	Obseg	Decimalna mesta	Pripis
1614	John Napier, Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio	0°–90°, minute	7	sin(Θ) & ln(sin(Θ)),
1617	Henry Briggs, Logarithmorum Chilias Prima	1–1000	14
1624	Henry Briggs Arithmetica Logarithmica	1–20,000, 90,000–100,000	14
1628	Adriaan Vlacq	20,000–90,000	10	contained only 603 errors[13]
1792–94	Gaspard de Prony Tables du Cadastre	1–100,000 and 100,000–200,000	19/24	"17 ogromnih pol rokopisa",[14] nikoli objavljeni, znanstveni arhiv
1794	Jurij Vega Thesaurus Logarithmorum Completus (Leipzig)			popravki dela Adriana Vlacqa
1795	François Callet (Paris)	100,000–108,000	7
1871	Edward Sang	1–200,000	7

William Oughtred (1575–1660), izumitelj logaritemskega računala

Zbirka tabel v Muzeju zgodovine znanosti v Oxfordu

Poleg tabelic je vredno omeniti logaritemsko računalo. Leta 1624 je Edmund Wingate (1593–1656) omenil možnost dvojne mere, torej dveh metrov, ki bi primerjali dimenzije. Leta 1630 je William Oughtred izumil okroglo računalo. Leta 1821 je Nathaniel Bowditch opisal napravo v American Practical Navigator, kjer drsi meter, ki na eni strani opisuje fukcije trigonometrije in logaritemske vrednosti tangent in sinusov. Naprava naj bi olajšala računanje navigacije.^[15]

Glej tudi

• dvojiški logaritem
• logaritemsko računalo
• eksponentna funkcija
• Taylorjeva vrsta

Sklici

1. »logarithm« (v angleščini). Wikislovar. Pridobljeno 9. aprila 2013.
2. Napier, John (1614), Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio [The Description of the Wonderful Rule of Logarithms] (v latinščini), Edinburgh, Scotland: Andrew Hart
3. Hobson, Ernest William (1914), John Napier and the invention of logarithms, 1614, Cambridge: The University Press
4. Folkerts, Menso; Launert, Dieter; Thom, Andreas (2016), »Jost Bürgi's method for calculating sines«, Historia Mathematica, 43 (2): 133–147, arXiv:1510.03180, doi:10.1016/j.hm.2016.03.001, MR 3489006
5. O'Connor, John Joseph; Robertson, Edmund Frederick, »Jost Bürgi (1552 – 1632)«, Arhiv zgodovine matematike MacTutor (v angleščini), Univerza v St Andrewsu
6. Maor 2009, sections 1, 13
7. Eves, Howard Whitley (1992), An introduction to the history of mathematics, The Saunders series (6th izd.), Philadelphia: Saunders, ISBN 978-0-03-029558-4, section 9-3
8. Boyer, Carl B. (1991), A History of Mathematics, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-54397-8, p. 484, 489
9. Stifelio, Michaele (1544), Arithmetica Integra, London: Iohan Petreium
10. Bukhshtab, A.A.; Pechaev, V.I. (2001) [1994]. »Arithmetic«. Encyclopedia of Mathematics. EMS Press.
11. Vivian Shaw Groza and Susanne M. Shelley (1972), Precalculus mathematics, New York: Holt, Rinehart and Winston, str. 182, ISBN 978-0-03-077670-0
12. Roy, A. E. (2004), Orbital Motion (4th izd.), CRC Press, str. 236, ISBN 9781420056884, In G. Darwin's day, logarithm tables came in different sizes
13. "this cannot be regarded as a great number, when it is considered that the table was the result of an original calculation, and that more than 2,100,000 printed figures are liable to error.", Athenaeum, 15 June 1872. See also Glaisher, in Monthly Notices of the Royal Astronomical Society for May 1872, pp255-262.
14. English Cyclopaedia, Biography, Vol. IV., article "Prony."
15. "Cameron's Nautical Slide Rule", The Practical Mechanic and Engineer's Magazine, April 1845, p187 and Plate XX-B

Viri

• Stöcker, Horst (2006). Matematični priročnik z osnovami računalništva. Ljubljana: Tehniška založba Slovenije. COBISS 229576192. ISBN 86-365-0587-9.

Zunanje povezave

• Predstavnosti o temi Logaritem v Wikimedijini zbirki
• Praktik.si: Video razlaga logaritma Arhivirano 2007-09-29 na Wayback Machine.
• Weisstein, Eric Wolfgang. »Logarithm«. MathWorld.