Hiperravnina

Hiperravnina je pojem, ki se uporablja v geometriji. To je posplošitev pojma ravnina na poljubno število razsežnosti.

Opis hiperravnine

Hiperravnina v n-razsežnem prostoru V je ravninska podmnožica z razsežnostjo n-1. Lahko tudi rečemo, da je korazsežnost v V enaka 1. Prostor V je lahko evklidski prostor ali afini prostor ali vektorski prostor ali projektivni prostor. V vseh primerih lahko hiperravnino podamo v koordinatah kot rešitvah ene algebrske enačbe prve stopnje. Kadar je V vektorski prostor lahko ločimo "vektorske hiperravnine" (so podprostori in morajo teči skozi izhodišče) in "afine hiperravnine" (ni potrebno, da tečejo skozi izhodišče, dobimo pa jih s translacijo vektorske hiperravnine). Hiperravnina v evklidskem prostoru deli ta prostor na dva podprostora.

Posebne vrste hiperravnin

Uporablja se več vrst hiperravnin, ki so namenjene posebni uporabi.

Afine hiperravnine

Afina hiperravnina je afini podprostor s korazsežnostjo 1 v afinem prostoru. V kartezičnem koordinatnem sistemu lahko hiperravnino opišemo z eno linearno enačbo, ki ima obliko

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=b\ }$

kjer je vsaj ena izmed vrednosti a_i neničelna.

V primeru realnega afinega prostora (kadar so koordinate realna števila) je ta afini prostor razdeljen na dve polovici (dva polprostora), ki sta povezani komponenti komplementa hiperravnine. Dana sta z neenačbama

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}<b\ }$

in

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}>b.\ }$

Zgledi: premica je hiperravnina v dvorazsežnem prostoru. Ravnina je hiperravnina v trirazsežnem prostoru. Premica v trirazsežnem prostoru ni hiperravnina., saj ne deli prostora v dva dela (komplement takšne premice je povezan).

Hiperravnina evklidskega prostora ima natančno dva enotska normalna vektorja.

Vektorske hiperravnine

V vektorskem prostoru je vektor hiperravnine linearni podprostor s korazsežnostjo 1. Takšna hiperravnina je rešitev samo ene homogene linearne enačbe.

Projektivne hiperravnine

Projektivna geometrija se lahko obravnava kot afina geometrija z dodatno izginjajočo točko (to je točka v neskončnosti). Afina hiperravnina skupaj s točko v neskončnosti tvori projektivno hiperravnino. Posebni primer projektivne hiperravnine je neskončna ali idealna hiperravnina, ki je definirana kot množica vseh točk v neskončnosti.

Zunanje povezave

• Hiperravnina na MathWorld (angleško)
• Linearna mnogoterost na PlanethMath Arhivirano 2012-11-12 na Wayback Machine. (angleško)
• Ravnine in hiperravnine (angleško)