Funkcija Z

Funkcija Z je v matematiki funkcija uporabna pri raziskovanju Riemannove funkcije ζ vzdolž kritične premice, kjer je realni del argumenta enak ${\displaystyle 1/2\,}$. Imenuje se tudi Riemann-Sieglova funkcija Z, Hardyjeva funkcija, Hardyjeva funkcija Z ali Hardyjeva funkcija zeta. Lahko se definira z Riemann-Sieglovo funkcijo ϑ in Riemannovo funkcijo ζ kot:

${\displaystyle Z(t)=e^{i\theta (t)}\zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right)\!\,.}$

Velja še:

${\displaystyle \left|Z(t)\right|=\left|\zeta \left({\frac {1}{2}}\right)+it\right|,\qquad (t\in \mathbb {R} )\!\,.}$

Iz funkcijske enačbe za Riemannovo funkcijo ζ sledi, da je funkcija Z realna za realne vrednosti ${\displaystyle t\,}$. Je soda funkcija in realna analitična za realne vrednosti. Iz dejstva, da sta Riemann-Sieglova funkcija ϑ in Riemannova funkcija ζ obe holomorfni na kritičnem traku, kjer je imaginarni del ${\displaystyle t\,}$ med -1/2 in 1/2, sledi, da je tudi funkcija Z holomorfna na kritičnem traku. Še več, realne ničle so točno ničle Riemannove funkcije ζ vzdolž kritične premice, kompleksne ničle na kritičnem traku funkcije Z odgovarjajo ničlam zunaj kritične premice Riemannove funkcije ζ na njenem kritičnem traku.

Funkcija Z v kompleksni ravnini

${\displaystyle -5<\Re (t)<5\,}$	${\displaystyle -40<\Re (t)<40\,}$

Riemann-Sieglova formula

Riemann-Sieglova formula zelo izboljša računanje vrednosti funkcije ${\displaystyle Z(t)\,}$ za realne ${\displaystyle t\,}$ in tako tudi Riemannove funkcije ζ vzdolž kritične premice:

${\displaystyle Z(t)=2\sum _{n^{2}<t/2\pi }n^{-1/2}\cos(\theta (t)-t\log n)+R(t)\!\,,}$

kjer je člen napake ${\displaystyle R(t)\,}$ asimptotično izražen v kompleksnem s funkcijo:

${\displaystyle \Psi (z)={\frac {\cos 2\pi (z^{2}-z-1/16)}{\cos 2\pi z}}\!\,}$

in njenimi odvodi. Če je ${\displaystyle u=({\frac {t}{2\pi }})^{1/4}\,}$, ${\displaystyle N=\lfloor u^{2}\rfloor \,}$ in ${\displaystyle p=u^{2}-N}$, potem velja:

${\displaystyle R(t)\sim (-1)^{N-1}\left(\Psi (p)u^{-1}-{\frac {1}{96\pi ^{2}}}\Psi ^{(3)}(p)u^{-3}+\cdots \right)\!\,,}$

kjer tripičje označuje, da se lahko nadaljuje na višje in naraščajoče kompleksne člene.

Znane so druge učinkovite vrste za funkcijo ${\displaystyle Z(t)\,}$, še posebej z nepolno funkcijo Γ. Če je:

${\displaystyle Q(a,z)={\frac {\Gamma (a,z)}{\Gamma (a)}}={\frac {1}{\Gamma (a)}}\int _{z}^{\infty }u^{a-1}e^{-u}\mathrm {d} u\!\,,}$

je posebej lep zgled:

${\displaystyle Z(t)=2\Re \left(e^{i\theta (t)}\left(\sum _{n=1}^{\infty }Q\left({\frac {s}{2}},\pi in^{2}\right)-{\frac {\pi ^{s/2}e^{\pi is/4}}{s\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)}}\right)\right)\!\,.}$

Obnašanje funkcije Z

Iz izreka o kritični premici sledi, da je gostota realnih ničel funkcije Z enaka:

${\displaystyle {\frac {c}{2\pi }}\log {\frac {t}{2\pi }}\!\,}$

za kakšno konstanto ${\displaystyle c>2/5\,}$. Tako število ničel na intervalu z dano velikostjo počasi narašča. Če je Riemannova domneva pravilna, so vse ničle na kritičnem traku realne ničle, konstanta pa je enaka ${\displaystyle c=1\,}$. Domneva se tudi, da so vse te ničle enostavne.

Izrek Omega

Zaradi ničel funkcije Z se funkcija obnaša nihajoče. Tudi počasi narašča tako v povprečju kot tudi ob vrhovih vrednostih. Brez Riemannove domneve izrek Omega pravi, da velja:

${\displaystyle Z(t)=\Omega \left(\exp \left({\frac {3}{4}}{\sqrt {\frac {\log t}{\log \log t}}}\right)\right)\!\,,}$

kjer zapis pomeni, da ${\displaystyle Z(t)\,}$ krat funkcija znotraj Ω ne teži k nič z naraščajočim ${\displaystyle t\,}$.

Povprečna rast

Raziskovali so tudi povprečno rast funkcije Z. Kvadratična sredina se lahko najde iz:

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}Z(t)^{2}\mathrm {d} t\sim \log T\!\,,}$

ali:

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{T}^{2T}Z(t)^{2}\mathrm {d} t\sim \log T\!\,,}$

kar pove, da kvadratična sredina funkcije ${\displaystyle Z(t)\,}$ narašča kot ${\displaystyle {\sqrt {\log t}}}$. Ta ocena se lahko izboljša na:

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}Z(t)^{2}\mathrm {d} t=\log T+(2\gamma -2\log(2\pi )-1)+{\mathcal {O}}(T^{-15/22})\!\,.}$

Če se eksponent poveča, se dobi srednja vrednost, ki je bolj odvisna od vrhov vrednosti funkcije Z. Za četrte potence je:

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}Z(t)^{4}\mathrm {d} t\sim {\frac {1}{2\pi ^{2}}}(\log T)^{4}\!\,,}$

od koder se lahko zaključi, da četrti koren srednje vrednosti četrte potence narašča kot ${\displaystyle {\frac {1}{2^{1/4}{\sqrt {\pi }}}}\log t\,}$.

Lindelöfova domneva

Glavni članek: Lindelöfova domneva.

Raziskali so višje sode potence, manj pa je znanega o ustrezni srednji vrednosti. Domneva se in sledi iz Riemannove domneve, da velja:

${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}Z(t)^{2k}\mathrm {d} t=o(T^{\epsilon })\!\,}$

za vsak pozitiven ε. Tukaj zapis z malim »o« pomeni, da leva stran deljena z desno stranjo konvergira k nič, oziroma, da je majhni o negacija Ω. Ta domneva se imenuje Lindelöfove domneva in je šibkejša od Riemannove domneve. Običajno se poda v pomembni enakovredni obliki:

${\displaystyle Z(t)=o(t^{\epsilon })\!\,}$

V obeh oblikah pravi, da stopnja rasti vrhov vrednosti ne more biti prevelika. Najboljša znana meja te stopnje ni močna, in pravi, da je primeren vsak ${\displaystyle \epsilon >{\frac {89}{570}}}$. Bilo bi neverjetno najti, da funkcija Z kje narašča tako hitro kot to. Littlewood je dokazal, da ob pravilnosti Riemannove domneve velja:

${\displaystyle Z(t)=o\left(\exp \left({\frac {10\log t}{\log \log t}}\right)\right)\!\,,}$

kar se zdi veliko bolj verjetno.