From Wikipedia, the free encyclopedia
Poissonova porazdelítev [poasónova ~] je diskretna porazdelitev (nezvezna), ki je podobna binomski porazdelitvi. V Poissonovi porazdelitvi opazujemo verjetnost, da se pojavi določeno število dogodkov v nekem časovnem obdobju, če se ti dogodki pojavljajo z znano pogostostjo in neodvisno od časa, ki je potekel od zadnjega dogodka (pri binomski porazdelitvi pa obravnavamo število uspehov v n ponovitvah poskusa). Lahko rečemo, da se dogodek zgodi zelo redko, ima pa veliko možnosti, da se zgodi.
Poissonova porazdelitev | ||
---|---|---|
Funkcija verjetnosti za Poissonovo porazdelitev Na abscisni osi (vodoravna) so vrednosti k. Funkcija je določena samo za cela števila k. Povezovalne črte samo pomagajo pri predstavi poteka funkcije. | ||
Zbirna funkcija verjetnosti za Poissonovo porazdelitev Na abscisni osi (vodoravna) so vrednosti k. Funkcija je nezvezna za cela števila k in ravna povsod drugod. | ||
oznaka | ||
parametri | ||
interval | ||
funkcija verjetnosti (pdf) | ||
zbirna funkcija verjetnosti (cdf) | za ali | |
pričakovana vrednost | ||
mediana | ||
modus | in , če je celo število | |
varianca | ||
simetrija | ||
sploščenost | ||
entropija |
| |
funkcija generiranja momentov (mgf) | ||
karakteristična funkcija | ||
Poissonova porazdelitev nam služi kot model za število redkih dogodkov, ki se pojavljajo v mnogih ponavljanjih. To pomeni, da je n zelo velik in p zelo majhen, produkt np pa ima neko sprejemljivo, oziroma razumno vrednost (zgled je promet, kjer je izredno veliko možnosti za nesrečo, nesreče pa so relativno redke). To obliko verjetnostne porazdelitve uporabljamo tudi za izračun verjetnosti pojavljanja dogodkov na določeni razdalji, površini ali prostornini (ne samo v časovnem intervalu).
Porazdelitev je uvedel francoski fizik, matematik in geometer Siméon-Denis Poisson (1781 – 1840).
Če je pričakovano število dogodkov v intervalu enako , potem je verjetnost, da se bo zgodilo točno k dogodkov (k =0, 1, 2,…), enaka:
kjer je:
Kot funkcija spremenljivke k je to funkcija verjetnosti za Poissonovo porazdelitev. Poissonova porazdelitev se lahko dobi tudi iz binomske porazdelitve.
Funkcija verjetnosti za Poissonovo porazdelitev je:
Zbirna funkcija verjetnosti Poissonove porazdelitve je:
kjer je:
ali
Pričakovana vrednost je enaka:
Varianca je enaka:
Poissonova porazdelitev se lahko kot mejni primer dobi iz binomske porazdelitve, če gre število poskusov preko vseh mej, in ostane število pričakovanih uspehov nespremenjeno. To pomeni, da je Poissonova porazdelitev aproksimacija binomske porazdelitve, če je n dovolj velik in verjetnost p dovolj majhna.
Torej lahko za slučajno sprememnljivko X zapišemo:
Kadar pa je n zelo velik in p majhen (np pa ima neko sprejemljivo vrednost). V tem primeru lahko vzamemo, da je slučajna spremenljivka X porazdeljena po Poissonovi porazdelitvi:
Vsak izmed Bernoullijevih dogodkov se zgodi zelo redko. To včasih imenujemo tudi kot zakon redkih dogodkov. Izraz je malo zavajajoč, ker skupno število uspehov ni majhno (produkt np ni majhen, zgled: število nesreč v prometu ni majhno).
Če je in , potem se razlika podreja Skellamovi porazdelitvi.
Za dovolj velike vrednosti λ (npr. λ > 1000) je normalna porazdelitev dober približek Poissonove porazdelitve.
Če velja:
kjer je:
Iz tega sledi, da je in za velja:
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.