kjer je Ω(n) funkcija števila vseh prafaktorjev, štetih s ponovitvijo. Liouvillova funkcija lahko zavzema le dve različni vrednosti {-1, 1}. Posebej za vsako praštevilo velja , kjer je Möbiusova funkcija. Prve vrednosti Liouvillove funkcije za so (OEISA008836):
Funkcija λ je popolnoma multiplikativna, ker je funkcija popolnoma aditivna, kar pomeni, da velja . Tako velja: za poljubna . Število 1 nima prafaktorjev, tako da je , in zato . Po dogovoru je tudi . Za Liouvillovo funkcijo velja enakost:
Dirichletov invez Liouvillove funkcije je absolutna vrednost Möbiusove funkcije:
Liouvillova funkcija je povezana z Möbiusovo funkcijo kot:[1]
V tem smislu je Liouvillova funkcija posplošitev Möbiusove funkcije. Prve vrednosti absolutne vrednosti, oziroma kvadrata razlike funkcij za so (OEISA107078):
To se je izkazalo za nepravilno. Haselgrove je leta 1958 s pomočjo Inghamove metode iz leta 1942[3] ovrgel Pólyevo domnevo in pokazal, da ima domneva protiprimer, ter ga ocenil na približno 1,845 · 10361.[4] Pokazal je tudi, da obstaja neskončno mnogo celih števil za katera je . Eksplicitni protiprimer za je našel Lehman leta 1960.[5] Najmanjši protiprimer je , ki ga je leta 1980 našel Minoru Tanaka.[6] Pólyeva domneva v območju za večino vrednosti ne velja. V tem območju ima funkcija največjo vrednost za .
Pokazali so, da je za neskončno mnogo pozitivnihcelih števil.[7] Lahko se tudi pokaže, da velja za neskončno mnogo pozitivnih celih števil . Ni pa znano ali funkcija menja predznak neskončno mnogokrat.[6]
Turánov rezultat
Definira se sorodna vsota:
Nekaj časa je bilo odprto vprašanje ali je za dovolj velik (to »domnevo«včasih (vendar nepravilno) pripisujejo Turánu). Neenakost je ovrgel Haselgrove leta 1958, ko je pokazal, da funkcija zavzema negativne vrednosti neskončno mnogokrat.[4]Peter Borwein, Ferguson in Mossinghoff[7] pa so leta 2008 pokazali, da je najmanjši takšen x enak 72.185.376.951.205. Potrditev pravilnosti te domneve bi načeloma vodila do dokazaRiemannove domneve, kot je pokazal Turán, vendar je njegov rezultat prazno pravilen in ga ni moč uporabiti za dokaz Riemannove domneve.
Landau je v svoji disertaciji Neuer Beweis der Gleichung leta 1899 pokazal enakovrednost Riemannove domneve za vsak poljuben :[8][9]
Borwein, Peter; Choi, Stephen; Rooney, Brendan; Weirathmueller, Andrea, ur. (2008), The Riemann Hypothesis: A Resource for the Afficionado and Virtuoso Alike, CMS Books in Mathematics, New York: Springer, doi:10.1007/978-0-387-72126-2, ISBN978-0-387-72125-5
Pólya, George (1919). »Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie«. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. Zv.28. str.31–40.
Tanaka, Minoru (1980). »A Numerical Investigation on Cumulative Sum of the Liouville Function«. Tokyo Journal of Mathematics. Zv.3, št.1. str.187–189. doi:10.3836/tjm/1270216093. MR0584557.