From Wikipedia, the free encyclopedia
Krivočrtni koordinatni sistem je koordinatni sistem v Evklidskem prostoru v katerem so lahko koordinatne premice ukrivljene. Te koordinate se lahko dobijo iz kartezičnega koordinatnega sistema z uporabo preslikave, ki je lokalno inverzibilna v vsaki točki. To pa pomeni, da lahko v vsaki točki, ki je dana v kartezičnem koordinatnem sistemu pretvorimo koordinate v krivočrtne in nazaj.
Izraz je skoval francoski matematik Gabriel Lamé (1795 - 1870).
V dvorazsežnem prikažemo lego točke s koordinatama (), vektor pa v obliki kjer sta bazna vektorja. Na podoben način lahko opišemo lego neke točke v krivočrtnem koordinatnem sistemu. Koordinate v tem sistemu pa označimo kot (). Vektor lege pa z . Količini in sta povezani s preslikavo
Bazna vektorja in sta povezana z
Koordinatne črte so nivojske krivulje za in v dvorazsežni ravnini.
Zgled za krivočrtne koordinate je polarni koordinatni sistem. V tem primeru je preslikava enaka
V kartezičnem koordinatnem sistemu je lega točke P(x, y, z) določena s presekom treh med seboj pravokotnih ravnin x = konst., y = konst. z = konst. Koordinate x, y, in z so povezane s tremi novimi vrednostmi q1, q2 in q3 z enačbami
Zgornje enačbe lahko zapišemo tudi kot
Funkcija preslikav je bijektivna in zadovoljuje zahteve v domeni:
To pa lahko zapišemo kot
Dano točko lahko opišemo tako, da podamo koordinate x, y in z ali pa koordinate q1, q2 in q3. Inverzna enačba opisuje ploskev v novih koordinatah in presečišče treh ploskev določa lego točke v trirazsežnem prostoru. Ploskve q1 = konstanta, q2 = konstanta in q3 = konstanta, se imenujejo koordinatne ploskve. Prostorske krivulje, ki jih dobimo na presečiščih dveh ploskev, pa so koordinatne črte. Koordinatne osi so določene kot tangente na koordinatne črte na preseku treh ploskev. To v splošnem stalne smeri v prostoru, kar velja za kartezične koordinate. Količina (q1, q2, q3) so krivočrtne koordinate točke P(q1, q2, q3).
V splošnem pa so (q1, q2,.... qn) krivočrtne koordinate v n-razsežnem prostoru.
Sferne koordinate so najpogosteje uporabljene krivočrtne koordinate. Krivočrtne koordinate (q1, q2, q3).
V tem sistemu koordinate običajno označujemo z r (razdalja od pola, velja r ≥ 0), θ (zenitna razdalja ali širina 0 ≤ θ ≤ 180°) in φ (azimut ali dolžina 0 ≤ φ ≤ 360°).
Neposredna povezava med kartezičnimi in sfernimi koordinatami je
Z rešivijo za r, θ, in φ, dobimo obratne odnose med sfernimi in kartezičnimi koordinatami
Da bi definirali vektor s pomočjo koordinat potrebujemo še pojem baze. Baza je v trirazsežnem prostoru množica linearno neodvisnih vektorjev, ki jih imenujemo bazni vektorji. Vsak bazni vektor je povezan z eno koordinato pripadajoče razsežnosti. Vsak vektor lahko prikažemo kot vsoto vektorjev , ki jih dobimo kot zmnožek baznega vektorja () s skalarnim koeficientom (), ki ga imenujemo komponenta. Vsak vektor ima natančno komponento v vsaki razsežnosti in ga lahko prikažemo kot
Za takšen koordinatni sistem in njegovo bazo se zahteva, da je vsaj ena vrednost velja
Linearna neodvisnost pravi, da ne obstajajo bazni vektorji z velikostjo nič, ker bi v tem primeru dobili vektor z velikostjo nič, če bi ga množili s poljubno komponento. Nekoplanarni vektorji so linearno neodvisni. Katerikoli trije nekoplanarni vektorji lahko služijo kot baza v treh razsežnostih.
Za splošno obliko krivočrtnih koordinat se bazni vektorji in komponente spreminjajo od točke do točke. Poglejmo n-razsežni vektor , ki je izražen v kartezičnih koordinatah kot
Če spremenimo bazne vektorje v potem vektor v novi bazi opisuje isti vektor
kjer so
Torej je vsota, ki opisuje vektor v novi bazi je sestavljena iz drugih vektorjev, vsota pa ostane enaka.
Bazne vektorje lahko povežemo s koordinatnim sistemom na dva načina
V prvem primeru se vektorji transformirajo kot kovariantni vektorji. V drugem primeru se bazni vektorji transformirajo kot kontravariantni vektorji. Pri označevanju teh dveh vrst baznih vektorjev uporabljamo dva načina. Kovariantne vektorje označujemo s spodnjimi oznakami, kontravariantne vektorje pa označujemo z zgornjimi oznakami. To pomeni, da v odvisnosti od tega kako jih zgradimo, imamo za splošne krivočrtne koordinate dve skupini baznih vektorjev v vsaki točki: za kovariantno bazo in za kontravariantno bazo.
Vektor lahko izrazimo v katerikoli bazi
Pri tem je lahko vektor kovarianten ali kontravarianten v odvisnosti od vrste njegovih komponent.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.