Dinamični biljard
From Wikipedia, the free encyclopedia
Dinámični biljárd je preprost dinamični sistem, v katerem se delec izmenično giblje premočrtno in odbija od stene, svoje meje, oziroma robu območja. Ko delec zadene rob, se odbije brez izgube hitrosti, in odboj predstavlja idealni trk. Delec je pri tem točkasto telo, ki predstavlja biljardno kroglo, tako da masa ne igra nobene vloge (). Tudi velikost hitrosti je enotska: . Po odbojnem zakonu je odbojni kot enak vpadnemu. Elastičnost odboja pomeni, da se energija ne izgubi, in da je , četudi se je spremenila smer hitrosti. Biljardni dinamični sistemi so hamiltonske idealizacije igre biljard, kjer je področje znotraj robu lahko nepravokotnih oblik ali pa tudi večrazsežno. Dinamične biljarde je moč raziskovati v neevklidskih geometrijah. Dejansko so prva proučevanja biljardov ugotavljala njihovo ergodično gibanje na ploskvah s konstantno negativno ukrivljenostjo. Biljarde, ki se igrajo zunaj robu območja, preučuje teorija zunanjih biljardov.
Delec se v biljardu giblje po premici s konstantno energijo med odboji od robu. Če pa Riemannova metrika ni ravna, se delec giblje po geodetki. Zaporedje odbojev se opiše z biljardno preslikavo, ki popolnoma določa gibanje delca.
Bilijardi zaobjamejo vso kompleksnost hamiltonskih sistemov, od popolnoma urejenih, integrabilnih, do popolnoma neurejenih, kaotičnih, ergodičnih sistemov. Za določitev Poincaréjeve preslikave biljarda integracija enačb gibanja ne predstavlja problema. Birkhoff je pokazal, da je biljardni sistem z eliptično mizo integrabilen.
Enorazsežni biljardi kažejo deterministični kaos in so ergodični, če imajo različne mase. Matematična problema enorazsežnih biljardov z različnimi masami in posamezni biljard v pravokotni škatli sta enakovredna. Kaotična lastnost pomeni, da so biljardi izjemno učinkoviti vzorci svojega faznega prostora.