Cauchyjeva porazdelitev

Cauchyjeva porazdelítev (tudi Cauchy-Lorentzeva porazdelitev) [košíjeva ~/koší-lórencova ~] je družina zveznih verjetnostnih porazdelitev z dvema parametroma (lokacije in merila).

Cauchyjeva porazdelitev

Gostota verjetnosti Vijolična krivulja je standardna Cauchyjeva porazdelitev
Zbirna funkcija verjetnosti
Zapis	${\displaystyle Cauchy(x_{0},\gamma )\,}$
parametri	${\displaystyle x_{0}\!}$ parameter lokacije (realno število) ${\displaystyle \gamma >0}$ parameter merila (realno število)
Interval	${\displaystyle \displaystyle x\in (-\infty ,+\infty )\!}$
gostota verjetnosti (pdf)	${\displaystyle {\frac {1}{\pi \gamma \,\left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}\!}$
zbirna funkcija verjetnosti (cdf)	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2}}\!}$
kvantil	${\displaystyle x_{0}+\gamma \,\tan[\pi (F-{\tfrac {1}{2}})]}$
pričakovana vrednost	nedoločena
mediana	${\displaystyle x_{0}\!}$
modus	${\displaystyle x_{0}\!}$
varianca	nedoločena (neskončna)
nesimetričnost	nedoločena
sploščenost	nedoločena
entropija	${\displaystyle \ln(4\pi \gamma )\!}$
funkcija generiranja momentov (mgf)	ne obstaja
karakteristična funkcija	${\displaystyle \displaystyle \exp(x_{0}\,i\,t-\gamma \,|t|)\!}$

Imenuje se po francoskem inženirju in matematiku Augustinu Louisu Cauchyju (1789–1857) in nizozemskem fiziku Hendriku Antoonu Lorentzu (1853–1928). Porazdelitev je znana kot Cauchyjeva porazdelitev, med fiziki pa je znana kot Lorentzeva porazdelitev ali (nerelativistična) Breit-Wignerjeva porazdelitev.

Značilnosti porazdelitve

Funkcija gostote verjetnosti

Gostota verjetnosti za Cauchyjevo porazdelitev je:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;x_{0},\gamma )&={\frac {1}{\pi \gamma \left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}\\[0.5em]&={1 \over \pi }\left[{\gamma \over (x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\right]\end{aligned}}}$

Zbirna funkcija verjetnosti

Zbirna funkcija verjetnosti je enaka:

${\displaystyle F(x;x_{0},\gamma )={\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2}}\!\,.}$

Pričakovana vrednost

Pričakovana vrednost ni določena.

Varianca

Varianca ni določena.

Funkcija generiranja momentov

Funkcija generiranja momentov ni določena.

Standardna Cauchyjeva porazdelitev

Standardno Cauchyjevo porazdelitev se dobi takrat, ko je ${\displaystyle x_{0}=0\,}$ in ${\displaystyle \gamma =1\,}$. V tem primeru je funkcija gostote verjetnosti enaka:

${\displaystyle f(x;0,1)={\frac {1}{\pi (1+x^{2})}}\!\,.}$

Povezave z drugimi porazdelitvami

• Razmerje med dvema neodvisnima standardnima normalnima spremenljivkama ima Cauchyjevo porazdelitev oziroma ${\displaystyle Cauchy(0,1)\,}$, kar pomeni, da je Cauchyjeva porazdelitev kvocientna porazdelitev

• Standardna Cauchyjeva porazdelitev ${\displaystyle Cauchy(0,1)\,}$ je poseben primer Študentove t porazdelitve z eno prostostno stopnjo.

• Če se slučajna spremenljivka ${\displaystyle X\,}$ podreja stabilni porazdelitvi ${\displaystyle X\sim Stable(1,0,\gamma ,\mu )\,}$, potem ima slučajna spremenljivka Cauchyjevo porazdelitev ${\displaystyle X\sim Cauchy(\mu ,\gamma )\,}$.

Glej tudi

• seznam verjetnostnih porazdelitev

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Cauchy Distribution«. MathWorld.
• Opis Cauchyjeve porazdelitve (angleško)