Cassinijev oval

Cassinijev oval je ravninska krivulja za katero velja, da je geometrijsko mesto točk v ravnini tako, da je zmnožek razdalj od dveh stalnih točk konstanten. Podobno je definirana elipsa, kjer pa je vsota razdalj od dveh stalnih točk konstantna. Te krivulje so posebni primeri polinomskih lemniskat, kjer imajo mnogočleniki stopnjo 2.

Nekaj Cassinijevih ovalov (b=0,6a, 0,8a, a, 1,2a, 1,4a, 1,6a)

Cassinijev oval ima ime po italijansko-francoskem matematiku, astronomu in inženirju Giovanniju Domenicu Cassiniju (1625 – 1712).

Definicija

Naj bosta ${\displaystyle q_{1}\,}$ in ${\displaystyle q_{2}\,}$ stalni fiksni točki in ${\displaystyle b\,}$ naj bo konstanta. Cassinijev oval z gorišči ${\displaystyle q_{1}\,}$ in ${\displaystyle q_{2}\,}$ je definiran kot geometrijsko mesto točk ${\displaystyle p\,}$ tako, da je zmnožek razdalj od ${\displaystyle p\,}$ do ${\displaystyle q_{1}\,}$ in razdalj od ${\displaystyle p\,}$ do ${\displaystyle q_{2}\,}$ enak ${\displaystyle b^{2}\,}$.

Cassinijev oval v kartezičnih koordinatah

V kartezičnem koordinatnem sistemu je enačba Cassinijevega ovala enaka:

${\displaystyle ((x-a)^{2}+y^{2})((x+a)^{2}+y^{2})=b^{4}\!\,.}$

To se lahko zapiše tudi kot:

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2a^{2}(x^{2}-y^{2})+a^{4}=b^{4}\!\,.}$

Cassinijev oval v polarnih koordinatah

V polarnem koordinatnem sistemu je enačba za Cassinijev oval:

${\displaystyle r^{4}-2a^{2}r^{2}\cos 2\theta =b^{4}-a^{4}\!\,.}$

Oblika krivulje

Oblika krivulje je odvisna od ${\displaystyle e=b/a\,}$.

• kadar je ${\displaystyle e>1\,}$, se dobi krivuljo s samo eno zanko, ki povezuje obe gorišči.
• kadar je ${\displaystyle e<1\,}$, krivuljo sestavljata dva nepovezana dela, od katerih imata oba svoje gorišče.
• kadar je ${\displaystyle e=1\,}$, se dobi Bernoullijevo lemniskato z dvojno točko (krunodo) v izhodišču.

Glej tudi

• seznam krivulj

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Cassini Ovals«. MathWorld.
• Cassinijev oval na MacTutor Arhivirano 2011-08-17 na Wayback Machine. (angleško)
• Cassinijev oval na 2dcurves.com (angleško)
• Cassinijev oval na Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (francosko)