Princíp superpozície

Princíp superpozície sa vo fyzike objavuje často a na mnohých miestach – od kvantovej mechaniky až po elektromagnetizmus. Vo všeobecnosti hovorí to, že ak sú rovnice popisujúce skúmaný fyzikálny systém lineárne a vezmeme nejaké dve riešenia, tak aj lineárna kombinácia týchto riešení (túto nazývame aj superpozícia) je tiež riešením. Toto ilustrujeme na dvoch najdôležitejších oblastiach.

O iných významamoch pozri pravidlo superpozície.

Vlny na rybníku

Superpozícia "skoro" priamej vlny vytvorenej veľmi vzdialeným zdrojom pred kačkou, a vlny spôsobené kačkou a mláďatami.

Začneme však príkladom zo života. Ak do rybníka hodíme kameň, z miesta dopadu sa rozbehnú vlny. Ak hodíme vedľa iný kameň, vytvoríme ďalšie vlnenie. Keď sa vlny pochádzajúce z dvoch rôznych dopadov stretnú, vytvárajú zložité obrazce. V skutočnosti sa však deje niečo veľmi jednoduché – obe vlny sa šíria nezávisle a výška vody v každom mieste rybníka je daná súčtom výšok, ktoré by osobitne vytvoril prvý a osobitne druhý kameň.

Princíp superpozície v kvantovej mechanike

Základná rovnica kvantovej mechaniky, Schrödingerova rovnica, je rovnica pre vlnovú funkciu sústavy ${\displaystyle \Psi (x,y,z)}$. Táto funkcia je lineárna – nevyskytujú sa v nej ${\displaystyle \Psi ^{2}}$, ${\displaystyle \Psi ^{3}}$, či ${\displaystyle {\sqrt {\Psi }}}$. Preto je možné v kvantovej mechanike používať princíp superpozície. Ten nám potom vraví, že ak sa daná fyzikálna sústava môže nachádzať v stavoch ${\displaystyle \Psi _{1},\dots ,\Psi _{n}}$, potom sa môže nachádzať aj v stave

${\displaystyle \Psi =c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+\dots +c_{n}\Psi _{n},}$

kde ${\displaystyle c_{1},\dots ,c_{n}}$ sú nejaké komplexné čísla. Potom ${\displaystyle |c_{i}|^{2}}$ je pravdepodobnosť nájsť sústavu v stave ${\displaystyle \Psi _{i}}$. Keďže sa však sústava v nejakom stave určite nachádzať musí, súčet všetkých pravdepodobností musí byť rovný jednej. Z toho vyplýva rovnica

${\displaystyle |c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}+\dots +|c_{n}|^{2}=1,}$

ktorú nazývame aj normovacia podmienka. Obmedzuje nám to, aké komplexné čísla môžeme voliť pri konštrukcii stavu ${\displaystyle \Psi }$ superpozíciou.

Schrödingerova mačka

To, že napríklad elektrón v atóme môže byť "zároveň" na prvej a druhej hladine, je pre nás ťažko predstaviteľné. Hlavný problém spočíva v tom, že s kvantovou mechanikou nemáme skúsenosti, v bežnom živote sa s jej dôsledkami priamo nestretávame, a preto sú niektoré jej predpovede pre nás nečakané. Závažnejší problém nastolil Erwin Schrödinger, keď v svojom článku z roku 1935 popísal známy experiment s mačkou. Pri ňom zavrieme mačku do škatule, v ktorej je spolu s ňou smrtiaci mechanizmus. V ňom je rádioaktívne jadro, ktoré sa počas jednej hodiny s pravdepodobnosťou 50% rozpadne a aktivuje mechanizmus. Po tomto čase je teda mačka v krabici s pravdepodobnosťou 50% živá a s pravdepodobnosťou 50% mŕtva. Z pohľadu kvantovej mechaniky je jadro po jednej hodine v superpozícii dvoch stavov: "rozpadnutý" a "nerozpadnutý". Naproti tomu mačka sa v takejto superpozícii môže nachádzať iba ťažko… Lekár vyšetrujúci prípadne mŕtvu mačku by dokonca dokázal zistiť, kedy približne zomrela. Prostredníctvom tohto myšlienkového experimentu chcel Schrödinger poukázať na to, že kvantovú mechaniku treba doplniť o jej vzťah ku klasickej mechanike, ktorá riadi bežné makroskopické objekty všade okolo nás. Na interpretáciách kvantovej mechaniky ako aj na využití jej zákonov (napr. kvantové počítače) vedci naďalej pracujú.

Princíp superpozície v elektromagnetizme

Základnými rovnicami elektromagnetizmu sú tzv. Maxwellove rovnice. Tieto popisujú, ako elektrické pole (popísané vektorom intenzity ${\displaystyle {\vec {E}}}$) a magnetické pole (popísané vektorom indukcie ${\displaystyle {\vec {B}}}$) navzájom ovplyvňujú a ako na nich vplýva elektrický náboj (popísaný svojou hustotou ${\displaystyle \varrho }$) a elektrický prúd (popísaný tzv. hustotou prúdu ${\displaystyle j}$). Dôležité je však to, že všetky štyri rovnice sú v neznámych ${\displaystyle {\vec {E}}}$ a ${\displaystyle {\vec {B}}}$ a tiež v nábojoch i prúdoch lineárne – vďaka tomu môžeme aj v elektromagnetizme používať princíp superpozície. Podľa neho ak náboj ${\displaystyle Q_{1}}$ v nejakom bode priestoru vytvorí v pozorovacom bode P elektrickú intenzitu ${\displaystyle {\vec {E}}_{1}}$ a náboj ${\displaystyle Q_{2}}$ umiestnený v inom bode priestoru vytvorí v bode P elektrickú intenzitu ${\displaystyle {\vec {E}}_{2}}$, tak ak budeme skúmať elektrickú intenzitu v bode P za súčasnej prítomnosti oboch nábojov, nameriame ${\displaystyle {\vec {E}}_{1}+{\vec {E}}_{2}}$. Rovnaké konštatovanie platí aj pre magnetické polia vytvárané viacerými rozličnými prúdmi v priestore, veľkosť výsledného vektora magnetickej indukcie môžeme nájsť ako súčet indukcií vytváraných jednotlivými prúdmi.