Pseudonáhodné číslo

Pseudonáhodné číslo je číslo vygenerované generátorom zdanlivo náhodných čísel. Postupnosť vygenerovaných náhodných čísel je tvorená pomocou nejakej funkcie.

${\displaystyle x_{i+1}\ =\ f(x_{i})}$

Pri prvom obrátení sa na generátor náhodných čísel je náhodne zvolené číslo ${\displaystyle x_{0}\ }$, napríklad podľa nejakej funkcie dátumu a času, nulté číslo je naozaj vygenerované náhodne. Obvykle sú generované čísla z intervalu (0,1). Keďže pseudonáhodné čísla sú vygenerované deterministickým algoritmom, nie sú to skutočne náhodné čísla, ale ak je použitý dobrý algoritmus, charakteristiky vygenerovanej postupnosti sa na postupnosť náhodných čísel veľmi podobajú (priemerná hodnota, disperzia, ...).

Metóda stredu mocniny

Prvý generátor pseudonáhodných čísel navrhol v roku 1946 John von Neumann. Metóda umožňovala generovať čísla s ľubovoľným počtom číslic. Keď potrebujeme pseudonáhodné čísla so štyrmi znakmi, na začiatku zvolíme nejaké štvorciferné číslo napríklad ${\displaystyle X_{0}\ =\ 8219}$. Toto číslo umocníme na druhú dostaneme číslo 67551961, vyberieme štyri stredné číslice, číslo ${\displaystyle X_{1}\ =\ 5519}$. Takto postupujeme ďalej a ďalej, pokiaľ mocnina čísla má menej znakov, ako osem, pripíšeme na začiatok mocniny toľko cifier, aby výsledné číslo malo 8 cifier.

Pseudonáhodné čísla z intervalu (0,1) získame z ${\displaystyle X_{n}}$ takto ${\displaystyle x_{n}\ =\ X_{n}/10000}$.

Na prvý pohľad sa táto metóda zdala byť vyhovujúca, jej skúmaním sa však zistili mnohé nedostatky a v súčasnosti sa už nepoužíva. Napríklad ak sa ako ${\displaystyle X_{0}\ }$ zvolí číslo 3792, jeho mocnina je 14379264 takže ${\displaystyle X_{1}\ =\ 3792}$. Postupnosť čísel tiež často končí nulami alebo periodickou postupnosťou 6100, 2100, 8100, 6100.

Lineárný kongruentný generátor

Vyberieme štyri celé kladné čísla:

1. Činiteľ ${\displaystyle k\ }$
2. zdvih ${\displaystyle c\ }$
3. modul ${\displaystyle m\ }$
4. prvé číslo postupnosti ${\displaystyle X_{0}\ }$

Metóda je založená na nasledujúcom vzorci:

${\displaystyle X_{i+1}=(kX_{i}+c)\ mod\ m}$

Je evidentné, že vygenerované číslo je ${\displaystyle X_{i}\ <\ m}$.

Rovnomerne rozdelené čísla na intervale (0,1) dostaneme zo vzorca

${\displaystyle x_{i}\ ={\frac {X_{i}}{m}}}$

Zďaleka nie pre všetky štvorice zvolených čísel dostaneme "dobré" pseudonáhodné čísla.

V prvom rade je zrejmé, že postupnosť vygenerovaných pseudonáhodných čísel bude periodická a jej perióda ${\displaystyle L\ }$ bude nanajvýš ${\displaystyle m\ }$, teda ${\displaystyle L\leq m}$

Dobrý generátor náhodných čísel je napríklad pre čísla: ${\displaystyle k\ =\ 5^{17},\ c\ =\ 0,\ m\ =\ 2^{40}}$

Perióda tohto generátora je ${\displaystyle 2^{38}\approx 2,75.10^{11}}$.

9000 hodnôt (3000 bodov) vygenerovaných generátorom RANDU. Je zjavné, že body nevyplňujú celú kocku, ale ležia iba na 15 rovnobežných rovinách.

Veľkosť periódy generátora nie je jediným kritériom toho, či je generátor "dobrý". Napríklad pre ${\displaystyle k\ =\ c\ =\ 1}$ periodicky sa opakujúce čísla budú 0, 1, 2,..., m-1. Perióda je síce m ale je zjavné, že takúto postupnosť nemožno pokladať za postupnosť pseudonáhodných čísel.

Generátory náhodných čísel sa zložito testujú, či vyhovujú požiadavkám kladeným na pseudonáhodné čísla a treba používať preverené generátory, inak výsledky získané neprevereným generátorom môžu byť veľmi vzdialené od reality.

Napríklad generátor RANDU (${\displaystyle k\ =\ 65539,\ c\ =\ 0,\ m\ =\ 231,X_{0}}$ je nepárne číslo) používaný okolo roku 1970, generoval čísla, ktoré na prvý pohľad vyzerali náhodne, keď sa však tri po sebe idúce hodnoty pokladali za súradnice v priestore vygeneroval body, na 15 rovinách a nie rovnomerne rozložené v priestore - obrázok vľavo (pozri RANDU). Štandardným štatistickým testom pritom generátor vyhovel.

Generátor Blum Blum Shub

Generátor Blum Blum Shub navrhli v roku 1986 Lenore Blum, Manuel Blum a Michael Shub.

Blum Blum Shub používa vzorec:

${\displaystyle x_{n+1}\ =\ (x_{n})^{2}\ mod\ M}$

kde ${\displaystyle M\ =pq,\ p,\ q}$ sú veľké prvočísla, pričom sú kongruentné 3 modulo 4.

Jednotlivé čísla Blum Blum Shub generátora možno vypočítať aj priamo:

${\displaystyle x_{i}=\left(x_{0}^{2^{i}{\bmod {(}}p-1)(q-1)}\right){\bmod {\ }}M.}$

Aplikácie

• Jednou z najnámejších aplikácii využitia pseudonáhodných čísel je Metóda Monte Carlo, ktorá umožňuje namiesto časovo, finančne, či inak náročných reálnych experimentov modelovať náhodné deje na počítačoch, možno ňou tiež s veľkou presnosťou odhadnúť nenáhodné veličiny.
• V počítačových hrách generátor vygeneruje číslo kocky, zamieša karty, simuluje náhodné správanie sa virtuálnych súperov, ...
• Genetické algoritmy

Referencie

• A.L. Efros: Fizika i geometrija besporjadka. Izdateľstvo nauka, Moskva 1982 - pôvodný zdroj článku

Externé odkazy

• www.danciwo.net Archivované 2009-09-28 na Wayback Machine – Lineárny kongruentný generátor v Pascale.