Permutácia (algebra)

Permutácia množiny ${\displaystyle A}$ je každá bijekcia z množiny ${\displaystyle A}$ do množiny ${\displaystyle A}$.

Vlastnosti

• Množina všetkých permutácií pevne zvolenej množiny je uzavretá vzhľadom na kompozície zobrazení. Čiže, ak ${\displaystyle \pi _{1},\pi _{2}\colon A\to A}$ sú permutácie množiny ${\displaystyle A}$, potom aj kompozície ${\displaystyle \pi _{1}\!\circ \pi _{2}}$ a ${\displaystyle \pi _{2}\circ \pi _{1}}$ sú permutáciami množiny ${\displaystyle A}$. Z toho vyplýva, že množina všetkých permutácii pevne zvolenej množiny ${\displaystyle A}$ spolu s operáciou skladania zobrazení tvorí grupu.
• Počet rôznych permutácií konečnej ${\displaystyle n}$-prvkovej množiny je ${\displaystyle n!}$ (čiže ${\displaystyle n}$ faktoriál).

Cykly permutácie

Pre pevne zvolenú množinu ${\displaystyle A}$ a pre jej pevne zvolenú permutáciu ${\displaystyle \pi \colon A\to A}$ sa definuje na množine ${\displaystyle A}$ relácia ${\displaystyle \sim _{\!\pi \,}}$ podmienkou, že ${\displaystyle x\sim _{\!\pi \,}y}$ vtedy a len vtedy ak existuje prirodzené číslo ${\displaystyle n}$ také, že

${\displaystyle (\underbrace {\pi \circ \pi \circ \ldots \circ \pi } _{n})(x)=\pi ^{n}(x)=y}$.

Relácia ${\displaystyle \sim _{\!\pi \,}}$ je ekvivalencia. Ak je množina ${\displaystyle A}$ konečná, triedy ekvivalencie relácie ${\displaystyle \sim _{\!\pi \,}}$ sa nazývajú cykly permutácie ${\displaystyle \pi }$.

Pozri aj

• Grupa
• Dismutácia

Externé odkazy

• ALGEBRA Maticový počet