Ohraničená množina

Pojem ohraničená množina možno definovať pre množiny reálných čísel alebo všeobecnejšie pre metrické priestory. Na množine reálných čísel, ktorá je zároveň metrickým priestorom, sú obe definície ekvivalentné.

Definícia pre reálne čísla

• Ak existuje také číslo ${\displaystyle r\in R}$ , že pre všetky čísla ${\displaystyle a\in A}$ platí ${\displaystyle a<r}$, potom množinu ${\displaystyle A}$ označujeme ako ohraničenú zhora. Číslo ${\displaystyle r}$ nazývame horným ohraničením množiny.

• Ak existuje také číslo ${\displaystyle s\in R}$, že pre všetky čísla ${\displaystyle a\in A}$ platí ${\displaystyle a>s}$, potom množinu ${\displaystyle A}$ označujeme ako ohraničenú zdola. Číslo ${\displaystyle s}$ nazývame dolným ohraničením množiny.

Množina reálnych čísel ohraničená zdola aj zhora sa nazýva ohraničená.

Najmenšie horné ohraničenie množiny ${\displaystyle A}$ sa nazýva supremum množiny ${\displaystyle A}$ a označujeme ho ${\displaystyle supA}$.

Najväčšie dolné ohraničenie množiny ${\displaystyle A}$ sa nazýva infimum množiny ${\displaystyle A}$ a označujeme ho ${\displaystyle infA}$.

Definícia pre metrické priestory

Ak je ${\displaystyle (M,\rho )\,\!}$ metrický priestor, potom množinu ${\displaystyle A\subseteq M\,\!}$ nazveme ohraničenou, pokiaľ existuje ${\displaystyle x\in M\,\!}$ a reálné číslo ${\displaystyle r\in \mathbb {R} \,\!}$ také, že pre každé ${\displaystyle y\in A\,\!}$ je ${\displaystyle \rho (x,y)<r\,\!}$

Na rozdiel od pojmu uzavretá množina, ktorý nie je absolútny (tento istý metrický priestor môže byť uzavretý v jednom svojom nadpriestore a neuzavretý v inom), ohraničenosť je absolútny pojem.

Totálne ohraničený metrický priestor je vždy ohraničený, opačne to však neplatí.

Vlastnosti

• Pre každé ${\displaystyle x\in A}$ platí ${\displaystyle supA\geq x}$ a ${\displaystyle infA\leq x}$
• Ak množina ${\displaystyle A}$ je ohraničená zhora, tak má aj supremum.
• Ak množina ${\displaystyle A}$ je ohraničená zdola, tak má aj infimum.
• Ak ${\displaystyle supA\in A}$, tak ${\displaystyle {\mbox{sup A}}}$ je ${\displaystyle {\mbox{max A}}}$.
• Ak ${\displaystyle infA\in A}$, tak ${\displaystyle {\mbox{inf A}}}$ je ${\displaystyle {\mbox{min A}}}$.

Pozri aj

• ohraničená funkcia

Externé odkazy

• Ohraničená množina Archivované 2019-06-20 na Wayback Machine