Lineárne zobrazenie

Lineárne zobrazenie je v algebre matematické zobrazenie, priraďujúce ľubovoľnému vektoru (vzoru) z vektorového priestoru nový vektor (obraz) z iného alebo rovnakého vektorového priestoru, zachovávajúc operácie vektorového súčtu a skalárneho násobku.^[1]:122 V prípade zobrazenia nad rovnakým vektorovým priestorom sa operácia nazýva aj lineárna transformácia alebo lineárny operátor.^[1]:127

Každé lineárne zobrazenie možno určiť maticou zobrazenia. Pod pojmom lineárne zobrazenie sa však nechápe len zobrazovanie vektorov, reprezentujúcich súradnice v priestore, ale aj zobrazovanie mnohých iných abstraktných vektorov, napríklad polynómov. Príkladom jednoduchšieho lineárneho zobrazenia môže byť také, ktoré ku každému vektoru priradí jeho dvojnásobok. Oveľa abstraktnejším lineárnym zobrazením je také, ktoré k polynómu priradí jeho deriváciu. Pre názornú predstavu však pomáha obmedzenie na vektorové priestory ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ prípadne ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

Formálna definícia

Nech ${\displaystyle N,M}$ sú vektorové priestory nad telesom ${\displaystyle K}$. Zobrazenie ${\displaystyle \varphi :N\to M}$ sa nazýva lineárne zobrazenie, ak ${\displaystyle \varphi }$ zachováva operácie vektorového súčtu a skalárneho násobku, t. j. ak je splnené nasledovné: ^[1]:122

${\displaystyle {\begin{array}{ll}({\textrm {i}})&\varphi (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=\varphi (\mathbf {x} )+\varphi (\mathbf {y} )\\({\textrm {ii}})&\varphi (\alpha \cdot \mathbf {x} )=\alpha \cdot \varphi (\mathbf {x} )\end{array}}}$

Príklad

Zobrazenie ${\displaystyle \omega$ :\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\mathbf {x} \longrightarrow \mathbf {x} +k;\;k\geq 1} nie je lineárne. Dôkaz sa dá urobiť priamo z definície lineárneho zobrazenia. Treba dokázať rovnosť (i)

${\displaystyle \omega (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=\mathbf {x} +\mathbf {y} +k}$

${\displaystyle \omega (\mathbf {x} )+\omega (\mathbf {y} )=(\mathbf {x} +k)+(\mathbf {y} +k)=\mathbf {x} +\mathbf {y} +2k}$

Tu ale neplatí ${\displaystyle \omega (\mathbf {x} +\mathbf {y} )\neq \omega (\mathbf {x} )+\omega (\mathbf {y} )}$, pretože ${\displaystyle \mathbf {x} +\mathbf {y} +k\neq \mathbf {x} +\mathbf {y} +2k}$. Dokazovať vlastnosť (ii) už nie je potrebné, keďže dané zobrazenie nie je lineárne.

Matica lineárneho zobrazenia

Lineárne zobrazenie môže byť reprezentované aj určitou maticou. Potom ak ${\displaystyle \varphi }$ je lineárne zobrazenie, možno ho prepísať

${\displaystyle \varphi (\mathbf {x} )=\mathbf {A} \cdot \mathbf {x}$ ;\;\mathbf {A} =\Vert a_{ij}\Vert _{m,n}}

Vektor ${\displaystyle \mathbf {x} }$ je chápaný ako matica ${\displaystyle \mathbf {x} =\Vert x_{i}\Vert _{m,1}}$. Tieto matice môžeme násobiť, lebo počet stĺpcov matice ${\displaystyle \mathbf {A} }$ je zhodný s počtom riadkov matice (vektoru) ${\displaystyle \mathbf {x} }$. Výsledkom lineárneho zobrazenia (súčinu matíc) bude vektor typu ${\displaystyle m,1}$. Maticu lineárneho zobrazenia je možné nájsť pomocou vlastnosti

${\displaystyle \varphi (e_{k})=\mathbf {A} \cdot e_{k}=a_{k}}$

kde vektor ${\displaystyle e_{k}}$ je k-ty jednotkový vektor a ${\displaystyle a_{k}}$ je obraz k-teho jednotkového vektora, čo je vlastne k-ty stĺpec matice zobrazenia.

Príklad

Nájdime maticu ${\displaystyle \mathbf {A} }$ lineárneho zobrazenia ${\displaystyle \varphi }$, ktoré ku každému vektoru ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{2}}$ priradí jeho ${\displaystyle \lambda }$-násobok. Najprv sa treba presvedčiť, že dané zobrazenie skutočne spĺňa vlastnosti lineárneho zobrazenia. Podobne ako v prvom príklade treba dokázať rovnosť (i).

${\displaystyle \varphi (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=\lambda (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=\lambda \cdot \mathbf {x} +\lambda \cdot \mathbf {y} }$

${\displaystyle \varphi (\mathbf {x} )+\varphi (\mathbf {y} )=(\lambda \cdot \mathbf {x} )+(\lambda \cdot \mathbf {y} )=\lambda \cdot \mathbf {x} +\lambda \cdot \mathbf {y} }$

Rovnosť teda platí. Teraz treba ešte dokázať vlastnosť (ii). Jednoduchým výpočtom

${\displaystyle \varphi (\alpha \cdot \mathbf {x} )=\lambda (\alpha \cdot \mathbf {x} )=\alpha \cdot \lambda \cdot \mathbf {x} }$

${\displaystyle \alpha \cdot \varphi (\mathbf {x} )=\alpha (\lambda \cdot \mathbf {x} )=\alpha \cdot \lambda \cdot \mathbf {x} }$

Po dokázaní vlastností lineárneho zobrazenia, môžeme hľadať maticu. Stačí zistiť kam sa zobrazia vektory ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}}$ ortonormálnej bázy priestoru ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, keďže ide o normované jednotkové vektory. Zo zadania je zrejmé, že vektor sa zobrazí na svoj ${\displaystyle \lambda }$-násobok, teda

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}=\left({\begin{array}{c}1\\0\end{array}}\right)\;{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}\;\lambda \cdot \left({\begin{array}{c}1\\0\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}\lambda \\0\end{array}}\right)}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{2}=\left({\begin{array}{c}0\\1\end{array}}\right)\;{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}\;\lambda \cdot \left({\begin{array}{c}0\\1\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}0\\\lambda \end{array}}\right)}$

Matica tohto lineárneho zobrazenia je

${\displaystyle \mathbf {A} =\left({\begin{array}{cc}\lambda &0\\0&\lambda \end{array}}\right)_{2\times 2}}$

Súčinom tejto matice a ľubovoľného vektora priestoru ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ dostaneme požadovaný násobok zobrazovaného vektora. V tomto prípade je vzorom ľubovoľný vektor a jeho obraz podľa zobrazenia ${\displaystyle \varphi }$ je jeho ${\displaystyle \lambda }$-násobok. Zobrazenia sa potom dá prepísať nasledovným spôsobom

${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}\lambda &0\\0&\lambda \end{array}}\right)\cdot \left({\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\end{array}}\right)=\varphi (\mathbf {x} )}$

Príklady matíc ďalších lineárnych zobrazení

Zobrazenie	Matica zobrazenia
${\displaystyle \lambda }$-násobok vektora	${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}\lambda &0\\0&\lambda \end{array}}\right)}$
rotácia roviny o uhol ${\displaystyle \gamma }$	${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}\cos \gamma &-\sin \gamma \\\sin \gamma &\cos \gamma \end{array}}\right)}$
osová súmernosť podľa osi x	${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}}\right)}$
osová súmernosť podľa osi y	${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}-1&0\\0&1\end{array}}\right)}$
kolmá projekcia na os x	${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}}\right)}$

Základná veta o lineárnych zobrazeniach

Nech ${\displaystyle \alpha _{1},...,\alpha _{m}}$ je ľubovolná báza vektorového priestoru ${\displaystyle V(F)}$ a nech ${\displaystyle \beta _{1},...,\beta _{m}}$ sú ľubovolné vektory priestoru ${\displaystyle W(F)}$. Potom existuje práve jedno lineárne zobrazenie ${\displaystyle \varphi :V(F)\to W(F)}$ pre ktoré platí: ${\displaystyle \varphi (\alpha _{1})=\beta _{1}}$ , ${\displaystyle \varphi (\alpha _{2})=\beta _{2}}$ , ... , ${\displaystyle \varphi (\alpha _{m})=\beta _{m}}$

Referencie

1. ZLATOŠ, Pavol. Lineárna algebra a geometria : Cesta z troch rozmerov s presahmi do príbuzných odborov. Bratislava : [s.n.], 2011. 808 s. [Cit. 2025-02-09]. Dostupné online. S. 122 – 139.

Literatúra

• CHALMOVIANSKÝ, Pavel. Geometria afinných zobrazení euklidovských priestorov : (pracovná verzia). Bratislava : Univerzita Komenského : Fakulta matematiky, fyziky a informatiky, 2010. 61 s. [Cit. 2025-02-09]. Dostupné online. S. 2 – 5.
• ZLATOŠ, Pavol. Lineárna algebra a geometria : Cesta z troch rozmerov s presahmi do príbuzných odborov. Bratislava : [s.n.], 2011. 808 s. [Cit. 2025-02-09]. Dostupné online. S. 122 – 139.