Laplaceov operátor

Laplaceov operátor (alebo len Laplace) je diferenciálny operátor vo vektorovej analýze, definovaný ako divergencia gradientu daného skalárneho, alebo vo všeobecnosti tenzorového poľa. Ak je aplikovaný na skalárne pole, výsledkom je opäť skalárne pole, ak je aplikovaný na tenzorové pole, výsledkom je tenzorové pole rovnakého stupňa. Označuje sa symbolom ${\displaystyle \Delta }$.

Laplace je invariantný voči zámene súradníc - to znamená, že (ak je aplikovaný na vektorové pole či tenzorové pole), výsledok je opäť vektorové pole či tenzorové pole.

Matematický opis

Definícia Laplaceovho operátora zapísaná pomocou operátora nabla, resp. pomocou operátorov divergencie a gradientu, má tvar

${\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}=\nabla \cdot \nabla =\mathrm {div} \,\mathrm {grad} }$.

Hoci je táto definícia nezávislá od sústavy súradníc, väčšinou sa zapisuje špeciálne v karteziánskych súradniciach ako

${\displaystyle \Delta =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}^{2}}}}$

v n-rozmernom priestore alebo špeciálne

${\displaystyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}.}$

v trojrozmernom priestore.

Dôležitým špeciálnym prípadom Laplaceovho operátoru je jeho vyjadrenie v Minkowského štvorrozmernom priestore, ktoré sa často používa v teórii relativity pri popise dejov v časopriestore. Toto vyjadrenie sa nazýva d’Alembertov operátor, označuje sa symbolom ${\displaystyle \square }$ a má hodnotu

${\displaystyle \square ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}.}$

Vyjadrenie v rôznych súradných sústavách

Nasledujúce vzťahy udávajú hodnotu Laplaceovho operátora v najrôznejších súradných sústavách v trojrozmernom priestore. Ak je funkcia f skalárne pole v daných súradniciach, potom platí

Vo valcových súradniciach:

${\displaystyle \Delta f={1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}.}$

Vo sférických súradniciach:

${\displaystyle \Delta f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}},}$

alebo ekvivalentne:

${\displaystyle \Delta f={1 \over r}{\partial ^{2} \over \partial r^{2}}\left(rf\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}.}$

Ak použijeme všeobecné ortogonálne súradnice x₁,x₂,x₃, ktorej Laméove koeficienty sú v tomto poradí h₁,h₂,h₃, je vyjadrenie 'aplaceovho operátora

${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left({\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left({\frac {h_{1}h_{3}}{h_{2}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}\left({\frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}{\frac {\partial f}{\partial x_{3}}}\right)\right)}$

V úplne všeobecných súradniciach sa Laplaceov operátor zapíše ako divergencia gradientu, teda

${\displaystyle \Delta {f}=\left(f_{;i}g^{ik}\right)_{;k}={{f}^{;k}}_{;k}}$