Koeficient špicatosti

Koeficient špicatosti (iné názvy: koeficient strmosti, exces, exces rozdelenia (náhodnej premennej), koeficient excesu, zahrotenosť, zvyšok) je charakteristika rozdelenia náhodnej veličiny. Porovnáva dané rozdelenie pravdepodobnosti náhodnej veličiny s normálnym rozdelením. Zvykne sa označovať ${\displaystyle \gamma _{2}}$.

Definícia

Nech ${\displaystyle X}$ je ľubovoľná náhodná premenná a nech jej stredná hodnota je ${\displaystyle E(X)=\mu }$ a disperzia je ${\displaystyle D(X)=\sigma ^{2}}$. Potom koeficient špicatosti je definovaný nasledovným podielom:

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {\mu _{4}(X)}{\left[D(X)\right]^{2}}}-3}$

Pričom ${\displaystyle \mu _{4}}$ označuje štvrtý centrálny moment náhodnej premennej ${\displaystyle X}$.

Vlastnosti

Je zrejmé, že môžu nastať tri prípady, a to:

• ${\displaystyle \gamma _{2}=0}$; v tomto prípade ide o normované normálne rozdelenie.

• ${\displaystyle \gamma _{2}>0}$; kladný koeficient špicatosti hovorí, že dané rozdelenie pravdepodobnosti je špicatejšie ako normálne rozdelenie.

• ${\displaystyle \gamma _{2}<0}$; v tomto prípade nastáva opačný prípad ako pri kladnej hodnote koeficientu špicatosti, teda dané rozdelenie pravdepodobnosti je plochšie ako normálne rozdelenie.

Výberový koeficient špicatosti

Výberový koeficient špicatosti je definovaný nasledovným vzťahom:

${\displaystyle g_{2}={\frac {m_{4}}{m_{2}^{2}}}=n{\frac {\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{4}}{\left(\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\overline {X}})^{2}\right)^{2}}}}$,

kde ${\displaystyle {\overline {X}}}$ je výberový premier, ${\displaystyle m_{2}}$ je výberový rozptyl a ${\displaystyle m_{4}}$ je štvrtý výberový centrálny moment náhodnej premennej.

Poznámky

• ^ Toto je klasický názov pre túto charakteristiku rozdelenia, no v poslednom čase ho niektorí odborníci označujú ako nie úplne vhodný či výstižný.^[1]
• ^ V niektorej literatúre sa zvykne používať aj označenie ${\displaystyle \varepsilon }$ alebo ${\displaystyle \varepsilon _{x}}$.
• ^ Namiesto takto definovanej charakteristiky sa v niektorých prípadoch definuje táto charakteristika nasledovne:^[2]:

${\displaystyle \gamma _{2}\prime ={\frac {\mu _{4}(X)}{\left[D(X)\right]^{2}}}}$

Teda:

${\displaystyle \gamma _{2}\prime =\gamma _{2}+3}$