Fourierov rad

Fourierov rad je pomenovaný po francúzskom fyzikovi a matematikovi Josephovi Fourierovi. Slúži na zápis periodického priebehu pomocou funkcií sínus a kosínus. Základná myšlienka zápisu funkcie vo forme radu z funkcií sínus a kosínus je rozklad vektora do ortogonálnej bázy. Lineárnym priestorom je v tomto prípade priestor (istých) funkcií definovaných na intervale ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$ a skalárnym súčinom je integrál:

${\displaystyle (f,g)=\int _{-\pi }^{\pi }f(t)g(t)dt}$

Vzhľadom na tento skalárny súčin tvoria funkcie

${\displaystyle [-\pi ,\pi ]\ni t\mapsto 1,\ \sin nt,\ \cos nt,\ \ \ n\in \mathbb {N} }$

ortogonálnu množinu a pre každú integrovateľnú funkciu ${\displaystyle f:\ [-\pi ,\pi ]\to \mathbb {R} }$ vieme nájsť jej súradnice voči uvažovanej ortogonálnej množine. Súradnica zodpovedajúca prvku ${\displaystyle e}$ je určená vzťahom

${\displaystyle f_{e}={\frac {(f,e)}{(e,e)}}.}$

Keďže ${\displaystyle (1,1)=2\pi ,(\sin nt,\sin nt)=(\cos nt,\cos nt)=\pi }$, tak funkcii ${\displaystyle f}$ priraďujeme jej Fourierov rad

${\displaystyle f(t)\sim {\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }[a_{k}\cos(kt)+b_{k}\sin(kt)],}$

ktorého koeficienty sa zadávajú vzorcami

${\displaystyle a_{k}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos {(kx)}dx,\ \ \ k=0,1,2,\dots }$,

${\displaystyle b_{k}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin {(kx)}dx,\ \ \ k=1,2,\dots }$.

Ak sa dve integrovateľné funkcie líšia v konečnom počte bodov tak je jasné, že majú rovnaký Fourierov rad. Z toho dôvodu nepíšeme medzi funkciou ${\displaystyle f}$ a jej Fourierovým radom znak rovnosti. Ak je však funkcia vybraná z lepšej množiny ako len z množiny integrovateľných funkcií, tak sa jej Fourierov rad môže rovnať. Napríklad platí nasledujúce tvrdenie: Ak je funkcia ${\displaystyle f}$ ohraničená a po častiach spojitá a má aj ohraničenú po častiach spojitú prvú deriváciu, tak jej Fourierov rad má v každom bode súčet a ten je rovný aritmetickému priemeru pravej a ľavej limity tejto funkcie v tomto bode. Teda v bode spojitosti je to hodnota funkcie. Fourierov rad spojitej funkcie nemusí (v niektorom bode) vôbec konvergovať.

V praxi sa funkcia f aproximuje konečným rozvojom, kde sčítame len niekoľko prvých členov, pričom sa genericky s narastajúcim počtom členov zvyšuje presnosť tejto aproximácie.

Pozri aj

• Fourierova transformácia

Externé odkazy

• Fourierove rady
• Fourierove rady