From Wikipedia, the free encyclopedia
Dirichletova funkcia je funkcia, ktorá je definovaná na obore všetkých reálnych čísel a pritom nie je spojitá v žiadnom bode.
Dirichletova funkcia D(x) je definovaná následujúcim predpisom:
Skutočný graf tejto funkcie nemožno žiadnym spôsobom nakresliť ani si ho predstaviť, čo viedlo mnohých matematikov hlavne v 19. storočí k pochybnostiam, či je Dirichletova funkcia skutočne funkciou či akousi „príšerou“, ktorá nepatrí do matematiky. Dnes už matematika celkom bez námietok uznáva aj omnoho zvláštnejšie funkcie.
Vlastnosti Dirichletovej funkcie:
Môžeme ho uviesť napr. na intervale , podľa teórie Lebesgueovho integrálu má byť interval cez ktorý integrujeme lebesgueovsky merateľný. Interval je podmnožina množiny reálnych čísel, teda je to zjednotenie množiny racionálnych čísel a množiny iracionálnych čísel (teda množina iracionálnych čísel je rovná množinovému rozdielu reálne čísla – racionálne čísla :.Podľa teórie Lebesgueovej miery je miera množiny : (racionálne čísla) rovná 0, :, pretože ide o spočítateľnú množinu, teda príspevok všetkých racionálnych čisel k integrálu je 0. Podľa teórie Lebesgueovej miery je miera množiny : ( na intervale ). V iracionálnych čislach je však , teda aj príspevok iracionálnych je rovný 0. Teda platí, že .
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.