Priestorový uhol

Priestorový uhol je časť priestoru vymedzená rotačnou kužeľovou plochou. Každá taká plocha delí priestor na práve dve časti – priestorové uhly. Priestorový uhol sa určuje tak, že sa uvažuje guľová plocha so stredom vo vrchole V a s ľubovoľným polomerom r, ktorej prienik s priestorovým uhlom je vrchlík na guľovej ploche s obsahom A. Veľkosť priestorového uhla potom určuje pomer medzi A a r², pričom nezávisí na uvažovanej guľovej ploche.^[1][2][3][4]

Vymedzenie priestorového uhla na guľovej ploche

Alternatívnou definíciou priestorového úhlu je zjednotenie všetkých polopriamok ${\displaystyle {\overrightarrow {VX}}}$ so spoločným začiatkom V, kde bod X leží na guľovom vrchlíku so stredom v bode V.^[5][6][7]

Špecifickým prípadom priestorového uhla je polpriestor, tj. časť priestoru rozdeleného rovinou.

Značenie

• Symbol veličiny: ${\displaystyle \Omega }$
• Jednotka SI: steradián, značka jednotky: sr
• V astronómii sa okrem steradiánu používa aj staršia jednotka štvorcový stupeň.

Výpočet

Priestorový uhol objektu pozorovaného z určitého bodu je rovný ploche, ktorú zaberá obraz tohto objektu v bodovej projekcii (so stredom v danom bode) na jednotkovú guľu, ktorá má stred v danom bode.

Plný priestorový uhol má hodnotu ${\displaystyle 4\pi }$, priamy uhol polovičnú.

Element priestorového uhla

Ak pozorujeme z určitého bodu s polohovým vektorom ${\displaystyle \mathbf {r} }$ element plochy ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {S} }$, ktorého polohový vektor je ${\displaystyle \mathbf {r} ^{\prime }}$, potom pre element priestorového uhla platí

${\displaystyle \mathrm {d} \Omega ={\frac {\mathbf {R} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }{R^{3}}}}$,

kde ${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }}$, ${\displaystyle R}$ je veľkosť tohto vektoru a ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {S} =\mathbf {n} \mathrm {d} S}$, pričom ${\displaystyle \mathbf {n} }$ je normála plochy v bode ${\displaystyle \mathbf {r} ^{\prime }}$.^[8][9]