Grupa transformácií

Nech ${\displaystyle {\mathcal {}}X}$ je ľubovoľná množina a nech ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ značí množinu bijektívnych zobrazení ${\displaystyle f:X\rightarrow X}$. Ľubovoľná podmnožina ${\displaystyle {\mathcal {}}G}$ množiny ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$, ktorá je uzavretá vzhľadom na skladanie zobrazení a vzhľadom na inverziu sa nazýva grupa transformácií ${\displaystyle {\mathcal {}}X}$. Grupová operácia je daná skladaním zobrazení ${\displaystyle (f,g)\mapsto f\circ g}$.

Že ${\displaystyle {\mathcal {}}G}$ je uzavretá vzhľadom na skladanie zobrazení a vzhľadom na inverziu znamená:

Ak ${\displaystyle {\mathcal {}}f,g\in G}$, tak ${\displaystyle {\mathcal {}}f\circ g\in G}$,

ak ${\displaystyle {\mathcal {}}f\in G}$, tak ${\displaystyle {\mathcal {}}f^{-1}\in G}$.

Skladanie zobrazení je asociatívna operácia, o čom sa možno ľahko presvedčiť výpočtom. Neutrálny prvok je identita. Inverzný prvok k zobrazeniu ${\displaystyle {\mathcal {}}f}$ je zobrazenie ${\displaystyle {\mathcal {}}f^{-1}}$ definované ako ${\displaystyle {\mathcal {}}f^{-1}(x)=y}$ ak ${\displaystyle {\mathcal {}}x=f(y)}$. Také ${\displaystyle {\mathcal {}}y}$ existuje a je jednoznačne dané, čo vyplýva z definície bijektívneho zobrazenia.

Príklad

Množina ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ všetkých bijekcií ${\displaystyle {\mathcal {}}X}$ s operáciou skladania zobrazení ${\displaystyle \circ }$ je grupou transformácií ${\displaystyle {\mathcal {}}X}$.

Literatúra

Katriňák, T., Gavalec, M., Gedeonová, E., Smítal, J.. Algebra a teoretická aritmetika. 1. Bratislava : Alfa, 1985.