Talesova teorema

U geometriji, Talesova teorema (dobila ime po Talesu iz Mileta) tvrdi da ako su A, B i C tačke na krugu gde je AC prečnik kruga, tada je ugao ABC prav ugao.

Dokaz

Koristimo sledeće pretpostavke: zbir uglova u trouglu je jednak zbiru dva prava ugla i dva ugla jednakokrakog trougla su jednaka.

Neka je O centar kruga. Neka su OA = OB = OC, OAB i OBC su jednakokraki trouglovi, i po jednakosti uglova jednakokrakog trougla, OBC = OCB i BAO = ABO. Neka γ = BAO i δ = OBC.

2γ + γ ′ = 180°

i

2δ + δ ′ = 180°

Takođe znamo da

γ ′ + δ ′ = 180°

Dodajući prve dve jednačine i zamenjujući treću sledi da

2γ + γ ′ + 2δ + δ ′ − (γ ′ + δ ′) = 180°

što nakon skraćivanja, γ ′ i δ ′, dokazuje da

γ + δ = 90°

Generalizacija

Talesova teorema je specijalni slučaj sledeće teoreme: ako se tri tačke A, B i C nalaze na krugu sa centrom O, ugao AOC je dva puta veći od ugla ABC.

Istorija

Tales nije bio prvi koji je poznavao ovu činjenicu, jer su je Egipćani i Vavilonci poznavali empirijski. U svakom slučaju oni nisu znali da dokažu ovu teoremu, niti su poznavali pojam dokazivanja niti ih je to uopšte zanimalo. Tako je teorema dobila ime po Talesu koji ju je prvi dokazao.

Talesova teorema na Wikimedijinoj ostavi