Rydbergova konstanta

Ridbergova konstanta, R, je fizička konstanta koja se sreće u atomskoj spektroskopiji pri opisivanju frekvencija spektralnih linija jednoelektronskih sistema. Kao i formula, Ridbergova formula, u kojoj se javlja, ime je dobila po Johanesu Ridbergu švedskom fizičaru s kraja devetnaestog i početka dvadesetog veka. KOnstanta je otkrivena u analizi spektralnih serija vodonikovog atoma čime su se prvi bavili Angstrem i Balmer. Svaki hemijski element ima sopstvenu Ridbergovu konstantu koja može da se izračuna iz „beskonačne“ Ridbergove konstante.

Ridbergova konstanta je jedna od najtačnije određenih fizičkih konstanti sa neizvesnošću manjom od 7 delova na trilion (7:10¹²). Toliko tačno eksperimentalno merenje omogućuje utvrđivanje odnosa među drugim fizičkim konstantama kojima se definisana Ridbergova konstanta.

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}=R\left({\frac {1}{m^{2}}}-{\frac {1}{n^{2}}}\right)\ }$.

Danas usvojena vrednost za „beskonačnu“ Ridbergovu konstantu (prema CODATA) iznosi:

${\displaystyle R_{\infty }={\frac {m_{e}e^{4}}{(4\pi \epsilon _{0})^{2}\hbar ^{3}4\pi c}}={\frac {m_{e}e^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^{3}c}}=1,0973731568525(73)\cdot 10^{7}\,\mathrm {m} ^{-1}}$

gde je

${\displaystyle \hbar \ }$ redukovana Plankova konstanta,

${\displaystyle m_{e}\ }$ masa mirovanja elektrona,

${\displaystyle e\ }$ elementarno naelektrisanje,

${\displaystyle c\ }$ brzina svetlosti u vakuumu, i

${\displaystyle \epsilon _{0}\ }$ permitivnost vakuuma.

U atomskoj fizici konstanta se često koristi u obliku energije:

${\displaystyle hcR_{\infty }=13,6056923(12)\,\mathrm {eV} \equiv 1\,\mathrm {Ry} \ }$

"Beskonačna“ konstanta javlja se u formuli:

${\displaystyle R_{M}={\frac {R_{\infty }}{1+m_{e}/M}}\ }$

gde je

${\displaystyle R_{M}\ }$ Ridbergova konstanta jednoelektronskog jona/atoma

${\displaystyle M\ }$ masa atomskog jezgra atoma/jona.

Alternativni izrazi

Ridbergova konstanta može da se prikaže i na sledeći način

${\displaystyle R_{\infty }={\frac {\alpha ^{2}m_{e}c}{4\pi \hbar }}={\frac {\alpha ^{2}}{2\lambda _{e}}}\ }$

i

${\displaystyle hcR_{\infty }={\frac {hc\alpha ^{2}}{2\lambda _{e}}}={\frac {hf_{C}\alpha ^{2}}{2}}={\frac {\hbar \omega _{C}}{2}}\alpha ^{2}\ }$

gde je

${\displaystyle h\ }$ Plankova konstanta,

${\displaystyle c\ }$ brzina svetlosti u vakuumu,

${\displaystyle \alpha \ }$ konstanta fine strukture,

${\displaystyle \lambda _{e}\ }$ Komptonova talasna dužina elektrona,

${\displaystyle f_{C}\ }$ Komptonova frekvencija,

${\displaystyle \hbar \ }$ redukovana Plankova konstanta, i

${\displaystyle \omega _{C}\ }$ Komptonova ugaona frekvencija elektrona.

Ridbergova konstanta vodonika

Unošenjem vrednosti za odnos mase elektrona i protona ${\displaystyle m_{e}/m_{p}=5,4461702173(25)\cdot 10^{-4}\ }$, nalazimo da je Ridnergova konstanta vodonika, ${\displaystyle R_{H}\ }$.

${\displaystyle R_{H}=10967758,341\pm 0,001\,\mathrm {m} ^{-1}\ }$

Unošenjem ove vrednosti u Ridbergovu formulu, možemo da izračunamo položaj linija emisionog spektra vodonika.

Izvođenje izraza za Ridbergovu konstantu

Ridbergova konstanta može da se izvede na osnovu Borovih postulata

• Borov uslov,

  Moment ipulsa elektrona može da poprimi samo izvesne diskretne vrednosti:

  ${\displaystyle L=m_{e}vr=n{\frac {h}{2\pi }}=n\hbar }$

  gde je n = 1,2,3,… (ceo broj) glavni kvantni broj, h Plankova konstanta, i ${\displaystyle \hbar =h/(2\pi )}$.

  ${\displaystyle r\ }$ je radijus elektronske orbite

• Sila koja održava elektron u kružnom kretanju (centripetalna) je

  ${\displaystyle F_{centripetal}={\frac {m_{e}v^{2}}{r}}\ }$

  gde je

  ${\displaystyle m_{e}\ }$ masa mirovanja elektrona, a ${\displaystyle v\ }$ brzina elektrona

• Elektrostatička sila privlačenja između elektrona i protona je

  ${\displaystyle F_{electric}={\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}\ }$

  gde je

  ${\displaystyle e\ }$ elementarno naelektrisanje,

  ${\displaystyle \epsilon _{0}\ }$ permitivnost vakuuma.

• Prema Borovom modelu totalna energija elektrona u orbiti radijusa ${\displaystyle r}$ je

  ${\displaystyle E_{\mathrm {total} }=-{\frac {e^{2}}{8\pi \epsilon _{0}r}}\ }$

Prvo iz Borovog postulata nalazimo da su dopuštene brzine elektrona ${\displaystyle v}$:

${\displaystyle v={\frac {nh}{2\pi rm_{e}}}\ }$

Onda nalazimo da za stabilnu kružnu orbitu centripetalna sila mora biti jednaka privlačnoj elektrostatičkoj sili, ${\displaystyle F_{centripetal}=F_{electric}}$ pa nalazimo

${\displaystyle {\frac {m_{e}v^{2}}{r}}={\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}\ }$

Zamenom u ovom izrazu dobijene elektronske brzine ${\displaystyle v\ }$ i rešavanjem po ${\displaystyle r\ }$ nalazimo dopuštene vrednosti za radijus elektronske orbite

${\displaystyle r={\frac {n^{2}h^{2}\epsilon _{0}}{\pi m_{e}e^{2}}}\ }$

Zamenom ovako dobijenog radijusa, ${\displaystyle r}$, u izrazu za elektrostatičku potencijalnu energiju elektrona u istoj orbiti nalazimo

${\displaystyle E_{\mathrm {total} }={\frac {-m_{e}e^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^{2}}}.{\frac {1}{n^{2}}}\ }$

Dakle, promena energije pri prelazu elektrona iz jedne orbite (početne, initial) u drugu (konačne, final) je

${\displaystyle \Delta E={\frac {m_{e}e^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^{2}}}\left({\frac {1}{n_{\mathrm {i} }^{2}}}-{\frac {1}{n_{\mathrm {f} }^{2}}}\right)\ }$

Prelaskom iz energije u talasni broj ${\displaystyle \left({\frac {1}{\lambda }}={\frac {E}{hc}}\rightarrow \Delta {E}=hc\Delta \left({\frac {1}{\lambda }}\right)\right)\ }$ nalazimo

${\displaystyle \Delta \left({\frac {1}{\lambda }}\right)={\frac {m_{e}e^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^{3}c}}\left({\frac {1}{n_{\mathrm {initial} }^{2}}}-{\frac {1}{n_{\mathrm {final} }^{2}}}\right)\ }$

gde je

${\displaystyle h\ }$ Plankova konstanta,

${\displaystyle m_{e}\ }$ masa mirovanja elektrona,

${\displaystyle e\ }$ elementarno naelektrisanje,

${\displaystyle c\ }$ brzina svetlosti u vakuumu, i

${\displaystyle \epsilon _{0}\ }$ permitivnost vakuuma.

a

${\displaystyle n_{\mathrm {i} }\ }$ i ${\displaystyle n_{\mathrm {f} }\ }$ su kvantni brojevi orbita među kojima dolazi do elektronskog prelaza.

Dakle, nalazimo da je Ridbergova konstanta atoma vodonika

${\displaystyle R_{H}={\frac {m_{e}e^{4}}{8\epsilon _{0}^{2}h^{3}c}}}$

Videti

• Ridbergova formula

Literatura

• Mathworld

S. Macura, J. Radić-Perić, ATOMISTIKA, Službeni list, Beograd, 2004., str. 92.