From Wikipedia, the free encyclopedia
L-sustav ili Lindenmayerov sustav je formalna gramatika koja je najpoznatija po primjeni u modeliranju rasta procesa razvoja biljaka, ali i za modeliranje morfologije raznih organizama. L-sustavi se mogu rabiti za generiranje samosličnih fraktala kao što su sustavi iteriranih funkcija. L-sustave je uveo i razvio 1968. mađarski teoretski biolog i botaničar sa Sveučilišta u Utrechtu, Aristid Lindenmayer (1925.–1989.).
Kao biolog, Lindenmayer je radio sa kvascem i nitastim gljivama te proučavao uzorke rasta raznih vrsta algi, kao što su modrozelene alge Anabaena catenula. Izvorno su L-sustavi izvedeni za pružanje formalnog opisa razvoja takvih jednostavnih višestaničnih organizama, kao i da bi se ilustrirali odnosi susjedstva među biljnim stanicama. Kasnije, ovaj je sustav proširen kako bi opisao više biljke i složene strukture grananja.
Rekurzivna priroda L-sustava vodi ka samosličnosti i stoga fraktalnim oblicima koji se lako opisuju L-sustavom. Modeli biljaka i izgledom prirodnih organskih oblika se slično lako definiraju, a kako se dubina rekruzije povećava, oblik polako 'raste' i postaje složeniji. Lindemayerovi sustavi su također popularni u generiranju umjetnog života.
Gramatike L-sustava su vrlo slične semi-Thue gramatici (vidi Chomskyjevu hijerarhiju). L-sustavi su danas uobičajeno poznati kao parametarski L sustavi definirani n-torkom:
gdje je
Pravila se gramatike L-sustava primjenjuju iterativno počinjući od inicijalnog stanja. Što je moguće više pravila se primjenjuje simultano, po iteraciji - ovo je istaknuto svojstvo koje L-sustav razlikuje od formalnog jezika generiranog gramatikom. Ako bi se produkcijska pravila primjenjivala tek jedan po jedan, stvorio bi se tek jezik, mjesto L-sustava. Stoga su L-sustavi strogi podskupovi jezika.
L-sustav je kontekstno neovisan ako se svako produkcijsko pravilo odnosi samo na pojedinačni simbol, ne i na njegove susjede. Kontekstno neovisni L-sustavi se toga specificiraju ili prefiksnom gramatikom ili regularnom gramatikom.
Ako pravilo ovisi ne samo o jednom simbolu već i o njegovim susjedima, tada je naslovljen kontekstno ovisnim L-sustavom.
Ako postoji točno jedna produkcija za svaki simbol, za L-sustav se kaže da je deterministički (deterministički kontekstno neovisni L-sustav se popularno zove DOL-sustav). Ako postoji nekoliko produkcija, i svaka je odabrana određenom vjerojatnošću pri svakoj iteraciji, tada se radi o stohastičkom L-sustavu.
Rabeći L-sustave za generiranje grafičkih slika zahtijeva da se simboli modela odnose na elemente slike računalnog zaslona. Primjerice, program FractInt (vidi vanjske poveznice dolje) koristi turtle grafiku (sličnu onoj u programskom jeziku Logo) za iscrtavanje slika na zaslonu. Interpretira svaku konstantu L-sustava kao naredbu za tzv. turtle (trokutasti kursor na zaslonu).
Lindenmayerov izvorni L-sustav za modeliranje rasta algi.
što pak generira:
Ako definiramo sljedeću jednostavnu gramatiku:
tada ovaj L-sustav generira sljedeći slijed stringova:
Ovo su zrcalne slike stringova prvog primjera, sa zamijenjenim A i B. Još jednom, svaki je string nadovezivanje prethodna dva, ali u obrnutom redoslijedu.
U bilo kojem od primjera, ako izračunamo duljnu svakog stringa, dobijemo poznati Fibonaccijev slijed brojeva:
Za n>0, ako brojimo k-tu poziciju od invarijantnog kraja stringa (lijevo u slučaju prvog primjera i desno u slučaju drugog primjera), vrijednost je određena time potpada li višekratnik zlatnog reza unutar intervala (k-1,k). Omjer A i B stoga konvergira ka zlatnom rezu.
Ovaj primjer daje isti rezultat (u terminima duljine svakog od stringova, ne u slijedovima simbola A i B) ukoliko je pravilo (B → AB) zamijenjeno pravilom (B → BA).
Neka A znači "crtaj naprijed" i B znači "pomakni naprijed".
Ovo generira poznatov Cantorov fraktalni skup za realnu ravnu liniju R.
Varijanta Kochove krivulje koja koristi samo prave kutove.
Ovdje, F znači "crtaj naprijed", + znači "zakreni ulijevo za 90°", i - znači "zakreni udesno za 90°"
F
F+F-F-F+F
F+F-F-F+F+F+F-F-F+F-F+F-F-F+F-F+F-F-F+F+F+F-F-F+F
F+F-F-F+F+F+F-F-F+F-F+F-F-F+F-F+F-F-F+F+F+F-F-F+F+F+F-F-F+F+F+F-F-F+F-F+F-F-F+F-F+F-F-F+F+F+F-F-F+F- F+F-F-F+F+F+F-F-F+F-F+F-F-F+F-F+F-F-F+F+F+F-F-F+F- F+F-F-F+F+F+F-F-F+F-F+F-F-F+F-F+F-F-F+F+F+F-F-F+F+
F+F-F-F+F+F+F-F-F+F-F+F-F-F+F-F+F-F-F+F+F+F-F-F+F
Sljedeće su slike generirane L-sustavom. Srodne su i slične Penroseovim popločanjima, koje je izmislio Roger Penrose.
Kao L-sustav ova se popločanja zovu Penroseovi rombovi i Penroseove ploče. Gornje slike su generirane za n = 6 kao L-sustav. Ako pravilno položimo Penroseove ploče kao L-sustav, dobijemo sljedeće popločanje:
inače dobijemo uzorke koji ne pokrivaju u potpunosti beskonačnu površinu:
Trokut Sierpińskog nacrtan koristeći L-sustav.
Ovdje, A i B znači "crtaj naprijed", + znači "zakreni ulijevo kutom", i - znači "zakreni udesno kutom". Kut mijenja predznak svake iteracije tako da su baze trokutastih oblika uvijek na dnu (inače bi bile na dnu i vrhu naizmjenice).
Evolucija za n = 2, n = 4, n = 6, n = 9
Zmajolika krivulja nacrtana koristeći L-sustav.
Ovdje, F znači "crtaj naprijed", - znači "zakreni ulijevo za 90°", i + znači "zakreni udesno za 90°". X i Y ne odgovaraju nijednoj akciiji crtanja i korišteni su samo za upravljanje evolucijom krivulje.
Zmajolika krivulja za n = 10
Ovdje, F znači "nacrtaj naprijed", - znači "zakreni ulijevo za 25º" i + znači "zakreni udesno za 25º". X ne odgovara nijednoj akciji crtanja i rabi se za upravljanje evolucijom krivulje. [ odgovara spremanju trenutnih vrijednosti za poziciju i kut, koje se vraćaju izvršavanjem odgovarajućeg ].
Fraktalna biljka za n = 6
Fraktalna figura nacrtana uvođenjem periodičke promjene predznaka kuta u iteraciji običnog L-sustava Kochove krivulje.
Postoje mnogi otvoreni problemi koji uključuju proučavanje L-sustava. Na primjer:
L-sustavi na realnoj liniji R:
Dobro poznati L-sustavi na ravnini R2 su:
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.